1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时9 空间中直线、平面的垂直 新授课 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直关系. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务：结合线线、线面、面面垂直的定义，探索用向量表述线线、线面、面面的垂直关系. 目标一：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 1.如何用直线的方向向量表示两直线平行？ 2.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的法向量之间是怎样的关系？如何用代数式表示？ 3.如果两个平面相互垂直，那么用平面法向量如何表示这种位置关系？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直； 即设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则   学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行； 即设直线 l 的方向向量为 u，平面 α 的法向量为 n，则 使得   学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 即设平面 α，β 的法向量为 n1，n2，则     平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直 学习活动 学习目标 学习总结 思考：若设u=(u1,u2,u3)，u1=(a1,a2,a3)，u2=(b1,b2,b3)，n=(n1,n2,n3)，n1=(c1,c2,c3)，n2=(d1,d2,d3)，则上述关系如何用坐标表示？ 使得 平面与平面垂直： 直线与直线垂直： 直线与平面垂直： 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 使得 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 已知v为直线l的方向向量，n1,n2分别为平面α，β 的法向量(α，β 不重合)，那么下列说法中正确的有（ ）. ① ③ ② ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 学习活动 学习目标 学习总结 目标二：能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直关系. 任务1：用向量方法证明线面垂直. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. (1)结合线面垂直的定义，如何证明直线A1C⊥平面BDD1B1？ 要证明直线A1C⊥平面BDD1B1，就等价于证明直线A1C要垂直平面BDD1B1的任何一条直线. 学习活动 学习目标 学习总结 (2)根据平面向量基本定理，如何用向量表示面的任何一条直线？ 在平面BDD1B1上，取 为基向量， 则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对（λ, μ），使得 所以向量 可表示平面BDD1B1的任何一条直线 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 学习活动 学习目标 学习总结 (3)结合线面垂直的向量表示，证明直线A1C⊥平面BDD1B1. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 因为AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°， 证明: 设 则{a,b,c}为空间的一个基底，且 所以 学习活动 学习目标 学习总结 (3)结合线面垂直的向量表示，证明直线A1C⊥平面BDD1B1. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 在平面BDD1B1上，取 为基向量，则对于平面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对（λ, μ），使得 所以 所以直线A1C⊥平面BDD1B1. 所以 是平面BDD1B1的法向量. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：用向量方法证明面面垂直的判断定理. 面面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. (1)面面垂直的判定定理是什么？ (2)将面面垂直的判定定理转化为数学符号语言，并用向量方法证明. 已知：如图, 求证： 学习活动 学习目标 学习总结 证明：取直线l的方向向量u，平面β的法向量n. 因为 所以u是平面α的法向量. 因为 而n是平面β的法向量，所以u⊥n. 所以 思考：如何利用向量证明空间直线、平面垂直问题？ 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 应用向量证明垂直问题的基本步骤： (1)建立空间图形与空间向量的关系（可以建立空间直