3.2.2 双曲线的简单几何性质 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时6 双曲线的简单几何性质 新授课 1.能够推导、归纳双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和几何意义. 学习活动 学习目标 学习总结 2 导入：椭圆 和 有哪些性质？ 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：类比椭圆性质的求法，探究双曲线的性质. 目标一：能够推导、归纳双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等性质. 1.观察双曲线 的图象，从图形和代数两个途径探究双曲线的范围、对称性、顶点性质. 关于范围：从图形来看，其范围为 ， ； 从代数方面，由方程 知， ， 所以 ，即 ,或 , .如图 关于对称性：从图形来看,双曲线关于x轴、y轴和坐标原点对称； 从代数方面，用-x代x，将其代入双曲线方程 ， 得 ,即 ，所以双曲线关于y轴对称； 学习活动 学习目标 学习总结 方程的形式不变，所以双曲线关于x轴和坐标原点对称. 关于顶点：从图形来看，双曲线顶点为双曲线与x轴的交点； 同理将-y代y，-x，-y代x，y，分别将其代入双曲线方程 中， 从代数方面，令y=0，所以双曲线方程为 ，解得 ， 即双曲线的顶点为 . 学习活动 学习目标 学习总结 思考1：如果令x=0，y有没有解，这说明双曲线的什么特征？ y无解，说明焦点在x轴的双曲线与y轴不相交. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 双曲线 的性质： 1.范围： , ； 2.对称性：关于x轴、y轴和坐标原点对称，其中坐标原点叫做双曲线的对称中心； 学习活动 学习目标 学习总结 3.顶点：双曲线与对称轴的交点，即 ； 4.实轴：线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长； 5.虚轴：线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长; 6.等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线，其曲线方程可以表示为 . 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 双曲线 的虚轴长为( )　　 A． B． C．4 D．2 C 解：双曲线 的虚轴长为4．故选：C． 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：探究双曲线的渐近线特点. 双曲线的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线 的距离d.沿曲线向右上方拖动点M，观察xM与d的大小关系，你发现了什么？ 双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线． 学习活动 学习目标 学习总结 新知讲解 一般地，双曲线 的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，如图. 学习活动 学习目标 学习总结 思考：结合双曲线的性质，如何才能比较准确的画出双曲线？ 画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 双曲线 的渐近线方程是（ ）　　 A. B. C. D. 解：双曲线 的渐近线方程是： ． 故选：A． A 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 双曲线