3.2.1 双曲线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时5 双曲线及其标准方程 新授课 1.借助信息技术，能通过实际绘制双曲线的过程认识双曲线的几何特征、理解双曲线的定义. 2.能通过建立适当的直角坐标系，推导出双曲线的标准方程． 3.能根据双曲线方程的定义，解决相关问题. 学习活动 学习目标 学习总结 2 导入：什么是椭圆，它的标准方程是什么？ 平面内与两个定点F1F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 椭圆的标准方程：焦点在x轴： ，焦点是 ；焦点在y轴： ，焦点是 .其中 . 学习活动 学习目标 学习总结 任务：类比椭圆的概念，归纳双曲线的概念. 目标一：借助信息技术，能通过实际绘制双曲线的过程认识双曲线的几何特征、理解双曲线的定义. 在直线l上取两个定点A、B,P是直线l上的动点．在平面内取两个定点F1F2，以F1为圆心，线段PA为半径作圆，再以F2为圆心，线段PB为半径作圆， 问题1：观看视频，当 时，说说点P在线段AB上运动时，两圆交点的轨迹是什么？为什么是这样的轨迹？ 椭圆，根据椭圆定义有|PA|+|PB|=|AB| ，所以，两圆交点的轨迹是椭圆. 学习活动 学习目标 学习总结 问题2：观看视频，当 时，说说点P在线段AB上运动时，两圆交点的轨迹是什么？为什么是这样的轨迹？ 无，此时两圆没有焦点. 不同于椭圆的曲线，分左右两支.特点：到定点 的距离的差的绝对值等于非零常数. 问题3：观看视频，当 时，说说点P在线段AB外运动时，两圆交点的轨迹是什么？该轨迹上的点有什么特点？ 学习活动 学习目标 学习总结 思考1：如何用符号语言表示定义？ 双曲线就是点M的集合： . 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 一般地，我们把平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 已知平面内两定点F1（﹣3，0），F2（3，0），下列条件中满足动点P的轨迹为双曲线的是（　　） A．|PF1|﹣|PF2|＝±7 B．|PF1|﹣|PF2|＝±6 C．|PF1|﹣|PF2|＝±4 D．|PF1|2﹣|PF2|2＝±6 解：∵两定点F1（﹣3，0），F2（3，0）， ∴|F1F2|＝6，由双曲线定义得||PF1|﹣|PF2||∈（0，6）， ∴四个选项的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是C． 故选：C． C 学习活动 学习目标 学习总结 目标二：能通过建立适当的直角坐标系，推导出双曲线的标准方程． 任务：类比椭圆方程的建构过程，建构双曲线方程. 问题1：对于双曲线该如何建系？ 问题1：取经过两焦点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图. 问题2：如何将双曲线的数学符号语言坐标化？ 问题2：设M（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦点为2c，则F1（-c，0），F2（c，0）. 根据 ，所以 . 学习活动 学习目标 学习总结 问题3：类比椭圆的化简过程，对双曲线方程进行化简. 类比椭圆标准方程的化简过程，移项、平方， 整理得 ， 平方整理得 , 因为 ，所以 . 学习活动 学习目标 学习总结 思考1：方程