1.3.1 空间直角坐标系 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时5 空间直角坐标系 新授课 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性. 2.会用空间直角坐标系刻画点的坐标及空间向量. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务1：类比平面直角坐标系，探究空间直角坐标系的相关概念. 目标一：在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，并掌握空间直角坐标系的画法，感受建立空间直角坐标系的必要性. （1）平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系，它包括哪些要素？这些要素需要满足什么条件？ 学习活动 学习目标 学习总结 坐标系三要素 平面直角坐标系 空间直角坐标系 坐标原点O 单位长度 三条互相垂直的坐标轴 坐标原点O 互相垂直的两条坐标轴x轴和y轴 单位长度 原点 坐标轴 单位长度 学习活动 学习目标 学习总结 （2）利用单位正交基底概念，我们可以这样理解平面直角坐标系(如下表)，类比平面直角坐标系，给出空间直角坐标系的定义. 平面直角坐标系 空间直角坐标系 在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i, j }， 以O为原点，分别以i,j的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴. 在空间选定一点O和一个正交基向量{i, j, k}. 以O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 建立空间直角坐标系： 在空间选定一点O和一个单位正交基底{ i, j, k }，以点O为 原点，分别以i, j, k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立 三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，如图. (1)x轴、y轴、z轴都叫做坐标轴；(2)O叫做原点；(3)i, j, k都叫做坐标向量； (4)通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，它们把空间分成八个部分. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：结合斜二测画法，探究空间直角坐标系画法. （1）平面直角坐标系是怎么画的？回忆学习立体几何时用到的斜二测画法，想想该如何画空间坐标系？ 平面直角坐标系Oxy的画法：在平面内画两条与单位正交基底向量i, j方向相同的数轴x轴和y轴，它们互相垂直、原点重合. 拓展到空间中，在x、y轴的基础上添加与x、y轴都垂直的z轴. 借鉴斜二测画法，在画空间直角坐标系Oxy时，让x轴与y轴所成的角为135°(或45°)，即∠xOy=135°(或45°)，画z轴和y轴垂直，即∠yOz=90°.如图所示， 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 学习活动 学习目标 学习总结 目标二：会用空间直角坐标系刻画点的坐标及空间向量. 任务1：探究空间中，点和向量的坐标表示. 问题：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，类比平面向量，空间直角坐标系中的每一个点和向量该如何用坐标表示？ 平面直角坐标系内 空间直角坐标系内 取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i, j为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x, y，使得a=xi+yj.我们把有序数对(x, y)叫做a的坐标，记作a=(x, y) 取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i, j, k为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使得a=xi+yj+zk. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 i j k 在单位正交基底{i, j, k}下与向量 对应的有序实数组(x,y, z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标， 横坐标 竖坐标 纵坐标 记作A(x, y, z). 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y, z)，使得 空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，可以作 a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标 a=(x, y, z) 简记 注：符号(x,y, z)具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：利用几何直观，确定空间向量坐标. 如图所示，过点A分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点B(x,0,0)，C(0,y,0)和D(0,0,z). 问题1：如何用向量 表示向量 问题2： 的坐标是多少？ 在x、y、z轴上的投影向量分别为 由向量加法意义得