2024年中考数学高频考点突破——二次函数与直角三角形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与直角三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，D为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若M（﹣2，y）是抛物线上一点，P是抛物线上另一点（点P与点D不重合），当S△BDM＝S△BPM时，求出此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线对称轴上是否存在点Q，使△BMQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标； (3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知B（3，0），C（0，4），连接BC． (1)b＝ ，c＝ ； (2)点M为直线BC上方抛物线上一动点，当△MBC面积最大时，求点M的坐标； (3)①点P在抛物线上，若△PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的横坐标； ②在抛物线上是否存在一点Q，连接AC，使，若存在直接写出点Q的横坐标，若不存在请说明理由． 4．如图，二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），直线y＝2x﹣2与x轴、y轴交于点D，E． （1）求该二次函数的解析式． （2）判断△ABE是否为直角三角形，说明理由． （3）点M为该二次函数图象上一动点． ①若点M在图象上的B，C两点之间，求△DME的面积的最大值． ②若∠MED＝∠EDB，求点M的坐标． 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），点B（1，0），与y轴交于点C（0， 3），顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设P是抛物线位于第二象限的图像上一点，且使ΔAPC的面积最大，求此时APC的面积的最大值和P点的坐标． （3）设点Q是y轴上一点，且使ΔADQ为直角三角形，求出满足此条件的点Q的坐标． 6．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ为直角三角形，直接写出点Q的坐标． 7．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积； （3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 8．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，是常数，）经过点，． （1）求这条抛物线的表达式． （2）在第一象限内对称轴上有一点，满足，求四边形的面积． （3）为下方抛物线上一动点，连接，，若为直角三角形，求点的坐标． 9．已知，抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1，0)和C(0，3)． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小?如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．    10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； （3）在抛物线对称轴上找一点，使点，，三点构成的图形是直角三角形，求点的坐标． 11．如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接． （1）求经过三点的抛物线的函数表达式； （2）点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标； （3）若为的中点，过点作轴于点，为抛物线上一动点，为轴上一动点，为直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是正方形时，请求出点的坐标． 12．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD． （1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式； （2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标； （3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点