习题课1 与球有关的内切、外接问题 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

与球有关的内切、外接问题 习题课1 1.理解外接球的概念，掌握多面体的外接球的半径求法. 2.理解内切球的概念，掌握多面体的内切球的半径求法. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务1：利用直接法求多面体的外接球的半径. 目标一：理解外接球的概念，掌握多面体的外接球的半径求法. 若一个多面体各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 学习活动 学习目标 学习总结 问题：一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为____，内切球半径为____. 设该正方体的外接球半径为R，内切球半径为r，正方体的体对角线长即为外接球直径，棱长即为内切球的直径，即2R＝ a,2r＝a，∴R＝ a，r＝ . 本题运用公式R2=r2+d2，求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式. 归纳总结 a 学习活动 学习目标 学习总结 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这个球的体积为_____. 练一练 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有 ，∴ ，∴正六棱柱的底面外接圆的半径r= ，球心到底面的距离d= . ∴外接球的半径R＝ .∴V球＝ . 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：利用构造法求多面体的外接球的半径. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三条侧棱长分别为1， ， ，则其外接球的表面积是______. 把这个三棱锥可以补成一个同一顶点处三条棱长分别为1， ， 的长方体，于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝12＋( )2＋( )2＝6. ∴R2＝ .故其外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 6π 学习活动 学习目标 学习总结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R＝ . 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 三棱锥A－BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD= ，则该三棱锥A－BCD外接球的体积为________. 练一练 因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，则AD为三棱锥A－CD的外接球的直径.设外接球的半径为R.∵VA－BCD＝ × ×BC×CD×AB＝ ×2×CD×2＝ ，∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝ ，∴R＝ ，外接球体积为V＝ πR3＝4 π. 4 π 学习活动 学习目标 学习总结 任务3：利用轴截面圆半径法求半径. 正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为_____. 如图，设正四棱锥的底面中心为O1，∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC中，由SA＝SC＝ ，AC＝2，得SA2+SC2=AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴ ＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球＝ . 学习活动 学习目标 学习总结 求正棱锥外接球半径： 利用等价转化的数学思想方法，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究. 根据题意，选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比. 练一练 作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a， 那么CC'＝a，OC＝ .在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2+OC2=OC' 2，即， a2+ ( ) 2=R2，∴R＝ a，从而，V半球= πR3= π( a)3 = πa3 , V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝ πa3∶a3＝ π：2. 学习活动 学习目标 学习总结 任务4：利用确定球心位置法求解球的有关问题. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝ ，AC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为________. 取PC的中点O，∵△PAC为直角三角形且∠PAC＝90°，∴OA＝ PC， 同