6.4.3.2 正弦定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课时15 正弦定理 新授课 1.借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理. 2.掌握正弦定理的适用条件，能用正弦定理解决简单的实际问题. 学习活动 学习目标 学习总结 2 情境导入：如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是20 m，∠B=45°∠C=60°，根据这些数据能用前面学习的余弦知识解决这个问题吗？ 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：利用向量法推导正弦定理. 目标一：借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理. 我们知道“大边对大角，小边对小角”，这是关于三角形边和角的定性关系，那么三角形的边和角是否存在定量关系？ 已知：如图，在Rt△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边. 问题1：根据三角函数关系说说 之间的关系？ 问题2：对于任意三角形，上述关系是否还成立？说明理由. 学习活动 学习目标 学习总结 锐角三角形： 在锐角∆ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 则 与 的夹角为 与 的夹角为 B A C 因为 所以 ,得 即 也即 所以 过点C作与 垂直的单位向量 可得 , 因此 学习活动 学习目标 学习总结 钝角三角形： 在钝角∆ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 则 与 的夹角为 与 的夹角为 B A C 同理可得 思考：如图，c是圆O的直径，R是圆O的半径，根据正弦定理，你发现 与半径R有什么关系？借此归纳 与R存在什么关系？ 学习活动 学习目标 学习总结 由图可知, ,因为在∆ABC中， ，所以在 中， ,所以在 中有 .又因在圆O上，不论 怎么移动，上述结论都成立.所以对任意∆ABC，有 . 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 . 推论： ; . 变形： ； . 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 如图，设A，B两点在河的两岸，测量者为了得到A，B两点之间的距离．测量者在B的同侧，在所在的河岸选定一个点C，测出BC的距离是20 m，∠B=45°，∠C=60°，如何利用正弦定理求AB之间的距离? 解： ，根据正弦的两角和公式可得， ，由正弦定理 可知 ，所以 ，所以 m. 学习活动 学习目标 学习总结 任务：利用正弦定理解三角形，归纳正弦定理适用条件. 目标二：掌握正弦定理的适用条件，能用正弦定理解决简单的实际问题. 在△ABC中，已知 ，求解这个三角形的边长a. 解：由正弦定理，得 (1)当C=45°时，A=105°， 且 ， 或 (2)当C=105°时，A=45°， 学习活动 学习目标 学习总结 1.为什么利用正弦函数计算角C会有两个值？ 2.结合前面做的“练一练”，小组讨论归纳正弦定理的适用条件有哪些？ 在区间(0,π)内，余弦函数单调递减，所以利用余弦函数求角，只有一解；正弦函数在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，所以利用正弦函数求角，可能有两解. 思考 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 1.正弦定理的适用条件： （1）已知两角及任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他边、角）. 2.正弦定理多解问题：当知两边及一边的对角，求另一边的对角的正弦值时， （1）若正弦值=1，则一解且为直角； （2）若正弦值≠1，则该对角为锐角或钝角（可能1解、2解及无解） 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 1.判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30° (2)c=54, b=39, C=120° (3)b=26, c=15, C=30° (4)a=2,b=6,A=30° 2个解 1个解 2个解 无解 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 2.∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=