6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课时9 平面向量的正交分解及坐标表示 新授课 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务1：根据物体平衡，分析斜坡上物体受力情况，了解正交分解的概念. 目标一：借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 我们知道任意一个向量可用该平面内两个不共线向量表示.如图，一物体静止在斜坡上. (1)该物体受到的重力产生哪两种作用效果？ (2)根据作用效果对重力进行分解，作为基底的向量，其位置关系有什么特点？ 相互垂直(如图) F1 F2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 归纳总结 沿斜坡向下，垂直斜坡向下. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：类比点的坐标表示，结合平面向量基本定理，理解向量的坐标表示. 如图，设与x轴、y轴方向相同的单位向量分别为 ，取 作为基底，将 向量沿x轴、y轴分解，则由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得 . 则平面内任一向量 可由x,y唯一确定，把有序数对(x,y)叫做向量 的坐标， 记作 .其中，x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标, 叫做向量的坐标表示. (1)坐标表示分别是什么？ (2)如图，以原点O为起始点作 ，则点 A的位置与什么有关？点A的坐标是多少？ 点A的位置由 唯一确定，A(x,y). 学习活动 学习目标 学习总结 点A的坐标与向量 有什么联系和区别？ 小组讨论 区别 表示形式不同 向量 中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号. 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系内的位置， 的坐标(x，y)表示向量的大小，也表示向量的方向，另外(x，y)可以表示成点和向量. 联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 学习活动 学习目标 学习总结 任务3：根据下列图形，利用正交分解求解相关向量的坐标. (1)根据平行四边形法则， 可以沿x轴、y轴如何分解？ (2)如何用 作为基底表示，其坐标表示是多少？ (3) 的坐标是多少？ 求向量坐标的两种方法 (1)正交分解法：即将向量直接正交分解，用 表示； (2)将向量平移，使起点与原点重合，读出终点坐标. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 任务1：根据平面向量的坐标表示，探究向量坐标加减的运算法则. 目标二：会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 已知 则 的坐标是多少？ 解：由题意知， ，所以 思考：向量坐标的加、减法运算是怎样的？ 两个向量的和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差） 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 已知 ，求 的坐标. 解： 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：小组讨论解决下列问题，探究如何利用点坐标求向量坐标. 如图，已知点 ，连接OA，OB. (1)如何用坐标表示向量 ？ (2)向量 如何用 表示，其坐标表示是多少？ 思考：向量的起点与终点坐标与向量坐标之间有什么关系？ 向量坐标等于此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 注：向量坐标只与起点、终点的相对位置有关，与它们的具体位置无关； 当向量确定后，向量坐标就唯一确定，向量平移前后，其坐标不变. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 任务3：小组讨论求出下列问题点D的坐标，并归纳解题方法. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标. 解：(法1)设顶点D坐标为(x,y). 顶点D坐标为(2,2). (法2)如图，由向量平行四边形法则可知： 顶点D坐标为(2,2). 思考：这两种解法在思想方法上有什么异同点？ 学习活动 学习目标 学习总结 不同点：前者是利用“两个向量相等，则它们坐标相等”解题过程中应用了方程思想；后者利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D坐标. 相同点：同时用了数形结合思想方法. 求一个点的坐标时，可以利用向量相等，共线等条件，也可转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 任务：根据下列关键词，构建知识导图. “正交分解”、“向量加减运算”、“点坐标与向量坐标”. 平面向量