3.1.1 椭圆及其标准方程 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1.2 椭圆及其标准方程 班级：_________ 姓名：___________小组：__________ 【学习目标】 1. 会利用椭圆的定义（定义法）求轨迹方程 2. 会用相关点法（代入法）求轨迹方程 3. 会用直接法求轨迹方程 【重点难点】 重点：掌握三种常用的求轨迹方程的方法 难点：定义法（几何特征不是很明显的时候）、讨论曲线上是否所有的点都满足题意（纯粹性和完备性） 【导学流程】 一、基础感知 1.阅读教材P115习题6，线段的垂直平分线有什么性质？思考Q点的轨迹符合哪种曲线的特征？总结常见的曲线特征。 知识梳理：定义法求点的轨迹方程 常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹； ② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹； ③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹； 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支； ④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹； 跟踪训练1.如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程． 2.阅读教材P108例2，选择合适的方法求M点的轨迹方程？轨迹上的所有点都满足此轨迹方程吗？ 3.由例2可以发现圆可以通过“压缩”得到椭圆，你能通过将圆“拉伸”得到椭圆吗？由此得到，椭圆与圆之间有什么关系？ 知识梳理：相关点法求轨迹方程的步骤 动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点Q(x',y')的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x',y'表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。 步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)； (2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程； (3)用x，y表示x0，y0； (4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程； (5)化简方程为最简形式． 跟踪训练2：如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 4.阅读教材P108例3，试求点M的轨迹方程。归纳总结平面内一动点到两定点的距离为负常数时，动点的轨迹是什么？这个负常数跟椭圆方程中的a,b有什么关系？特别地，此常数为-1时，动点的轨迹是圆吗？ 知识梳理：直接法求轨迹方程的步骤 如果动点M运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。 步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 跟踪训练3：已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？ 跟踪训练4：点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 跟踪训练5（清北）：一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 二、探究未知 你还有什么疑惑或新的发现？ ① ②___________________________. 学科网（北京）股份有限公司 $$