5.2 三角函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课时3 三角函数的概念 新授课 理解任意角三角函数的定义，并能初步运用定义求解简单的三角函数值. 学习活动 学习目标 学习总结 2 思考 在前面的学习中我们已经知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而匀速圆周运动是一种典型的周期现象，那么这种运动规律该用什么函数模型刻画呢？如图所示，如何去刻画点P的位置呢？ 学习活动 学习目标 学习总结 目标：理解任意角三角函数的定义，并能初步运用定义求解简单的三角函数值. 任务1：构造单位圆模型，探究并理解任意角三角函数的定义. 如图，以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标是(1,0)，点P的坐标是(x,y). 射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP． 问题： 1.当α= 时，点P的坐标是什么？当α= 或 时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 2.任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标能唯一确定吗？ 学习活动 学习目标 学习总结 1. 当 时，点P的坐标为 ；当 时， 点P的坐标为（0,1）;当 时，点P的坐标为 ,它们都是唯一确定的. 2.唯一确定 问题： 3.结合函数的定义，你认为能用点P的坐标来表示任意角α的函数吗？ 学习活动 学习目标 学习总结 为什么定义域 是这样呢？ 归纳总结 设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； 把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作cosα，即x= cosα ； 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切函数，记作tanα ，即 . 我们将正弦函数，余弦函数，正切函数统称为三角函数. 通常将它们记为： 正弦函数 ；余弦函数 ；正切函数 . 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：先完成下列作图，再解答问题，探究任意角三角函数与锐角三角函数之间的关系. 1.作Rt△ABC ，其中∠A=x ° ，∠C=90° . 2.以单位圆的圆心O为坐标原点，以射线OM为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，以射线OM从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转x°，终止位置为OP． 问题：结合作出的两个图形，找出sinA与sin∠POM、cosA与cos∠POM、tanA 与 tan∠POM之间的关系. 相等 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 1.利用三角函数定义，求 的三个三角函数值； 2.已知角θ的终边过点P(-12，5)，求角θ的三角函数值． 解：1.sin ＝ ， cos ＝ ，tan ＝ ； 2.sin θ＝ ，cos θ＝－ ，tan θ＝－ ． 学习活动 学习目标 学习总结 任务3：利用三角函数的定义，证明下列命题，理解三角函数比值的定义. 如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，以原点为圆心，作单位圆与α的终边交于点P0 (x0，y0)．分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0. 问题： （1）根据三角函数的定义，思考如何表示sin α、cos α、tanα？ （2）根据图象结合三角函数的定义证明：sin α= ， cos α= ，tanα= . 学习活动 学习目标 学习总结 （2）由图可知，|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，△OMP∽△OM0P0．于是 , 即|y0|= ．因为y0与y同号，所以y0= ，即 sin α= ．同理可得cos α= ；tan α= . 解：（1）由三角函数的定义可知， . 学习活动 学习目标 学习总结