热点专题09 等比数列的通项及求和公式-2023-2024学年高二数学上学期重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019）

热点专题09等比数列的通项及求和公式 知识点一等比数列的概念与通项公式 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）. 注意：（1）等比数列中不能有0项 （2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 2.等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,. 3.等比数列的通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为. （2）第项与第项的关系为,变形得. （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数当时的函数值,即. 知识点二 等比数列的常用性质 （1）如果,则有. （2）如果,则有. （3）若成等差数列,则成等比数列. （4）在等比数列中,每隔项取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. （5）如果均为等比数列,且公比分别为,那么数列仍是等比数列,且公比分别为. （6）等比数列的项的对称性:在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即 （7）等比数列的单调性 ①当或时,等比数列为递增数列; ②当或时,等比数列为递减数列; ③当时,等比数列为摆动数列. 知识点三 等比数列的前n项和公式 已知量 公式 首项与公比 首项,末项与公比 知识点四 等比数列前项和的性质 （1）等比数列中,若项数为,则;若项数为,则. （2）若等比数列的前项和为,则成等比数列(其中均不为,公比为. （3）若一个非常数列的前项和,则数列为等比数列,即数列为等比数列. 题型一 等比数列的判断 【例1】（多选）已知是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）已知是等差数列的前项和，则下列结论正确的是（　　） A．可能是等差数列 B．一定是等差数列 C．一定是等比数列 D．不一定是等差数列 【变式1-1】（多选）如果数列中，在时恒成立，求证：是等比数列． 【变式1-2】（多选）记为正项数列的前项和，为正项数列的前项积，则（   ） A．若数列是等比数列，则数列是等差数列 B．若数列是等比数列，则数列是等比数列 C．若数列是等差数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列是等比数列 【变式1-3】已知都是等比数列，那么（    ） A．都一定是等比数列 B．一定是等比数列，但不一定是等比数列 C．不一定是等比数列，但一定是等比数列 D．，一定是等比数列 题型二 等比数列通项及求和公式求基本量 【例3】已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知正项等比数列的前n项和为．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】等比数列的各项均为正数，其前项和为，已知，则 . 【变式2-2】已知正项等比数列的前n项和为．若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】等比数列的前项和为，若，则 . 题型三 等比中项的应用 【例5】等比数列中，若，，则（    ） A．9 B． C． D．27 【例6】数列是正数等比数列，且，则 . 【变式3-1】设是公差不为0的等差数列，成等比数列，则（    ） A．3 B． C． D．2 【变式3-2】公差大于零的等差数列中，，，成等比数列.若，则（    ） A．28 B．30 C．32 D．64 【变式3-3】在正项等比数列中，是方程的两根，则 题型四 等比数列的性质 【例7】已知正项等比数列的前n项积为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【例8】在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【变式4-1】在正项等比数列中，已知，则 ． 【变式4-2】数列为等比数列，且，则 ． 【变式4-3】设等比数列满足，且，，则的最小值为 . 题型五 等比数列前项和的性质 【例9】已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．8 B．26 C．80 D．54 【例10】已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-1】（多选）已知数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为，则下列说法正确的是（    ） A．存在和，使得． B．若为的前项和，则，，，成等差数列 C．若为的前项和，则，，，成等比数列 D．当时，存在实数A、使得 【变式5