2024年中考数学高频考点突破——二次函数与等腰三角形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与等腰三角形 1.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与轴交于,两点,点是抛物线与轴的交点,点是直线下方抛物线上一动点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)是否存在点,使是以为底边的等腰三角形?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由; (3)动点运动到什么位置时,面积最大,求出此时点坐标和的最大面积. 2.抛物线与直线交于原点和点, 与轴交于另一点, 顶点为. (1)填空: 点的坐标为_, 点的坐标为_. (2)如图1 , 连结为轴上的动点, 当以为顶点的三角形是等腰三角形时, 请直接写出点的坐标; (3)如图2, 是点关于拋物线对称轴的对称点, 是拋物线上的动点, 它的横坐标为 , 连结与直线交于点. 设和的面积分别为和, 设, 试求关于的函数解析式并求出的最值. 3.已知抛物线经过,两点,直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的解析式 (2)设P是直线l上的一个动点,当的周长最小时,求点P的坐标; (3)在直线l上是否存在点M,使为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图,抛物线交轴于,两点,与轴交于点,,.为线段上的一个动点,过点作轴,交抛物线于点,交于点. (1)求抛物线的表达式; (2)过点作,垂足为点.设点的坐标为,请用含的代数式表示线段的长,并求出当为何值时有最大值,最大值是多少?此时的值是多少? (3)试探究点在运动过程中,是否存在这样的点,使得以,,为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由. 5.如图,在平面直角坐标系中,直线和抛物线交于点,,且抛物线的对称轴为直线. (1)求抛物线的解析式; (2)点在第四象限的抛物线上,且是以为底的等腰三角形,求点的坐标; (3)点是直线上方抛物线上的一动点,当点在何处时,点到直线的距离最大,并求出最大距离. 6.如图1,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.点是第二象限内抛物线上的一个动点,设点的横坐标为,过点作直线轴于点,作直线交于点. (1)求该抛物线的解析式; (2)如图1,当是以为底边的等腰三角形时,求点的坐标; (3)如图2,连接,过点作直线,交轴于点,连接.试探究:在点运动的过程中,是否存在点,使得,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 7.如图甲,直线与轴、轴分别交于点、点,经过两点的抛物线与轴的另一个交点为,顶点为. (1)求该抛物线的解析式; (2)当时,在抛物线上求一点,使的面积有最大值(图乙、丙供画图探究),并求出最大面积及点的坐标. (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点,使以为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出所符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由; 8.【初步探究】如图(1),抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.请直接写出A,B,C三点的坐标:A_;B_;C_. 【深度探究】如图(2),点D的坐标为,点P是该抛物线在第一象限内的一个动点,连接. (1)请问是否有最大面积?若有,求出的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由. (2)点P在运动的过程中,和的交点为E,当是等腰三角形时,请直接写出此时点E的坐标. 9.如图,在平面直角坐标系中,拋物线与轴交于两点,与y轴交于点C. (1)求的面积; (2)点P是直线下方抛物线上一动点,过作于点,求线段的最大值及此时点P的坐标; (3)将抛物线沿射线平移个单位得到新抛物线,新抛物线与原抛物线交于点,将沿直线平移得到(不与重合),若以点,,为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点的坐标,并写出求解点坐标的其中一种情况的过程. 10.如图,已知抛物线与轴交于和两点,与轴交于点.直线过抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数解析式; (2)若直线与抛物线交于点,与直线交于点. ①当取得最大值时,求的值和的最大值; ②当是等腰三角形时,求点的坐标. 11.如图,抛物线与x轴于A,B两点,交y轴于点C,. (1)直线过A,C两点, ①如图1,求抛物线的解析式; ②如图1,将直线向右平移,A的对应点为B,且,以为一边作等腰三角形,求N的坐标; (2)如图2,M为抛物线第一象限上任意一点,直线交y轴于点H,若,求a的值. 12.如图,在平面直角坐标系中,已知点C的坐标为,点A,B在x轴上,且,动点P在过A,B,C三点的抛物线上. (1)求抛物线的函数解析式. (2)在直线上方的抛物线上是否存在点P,使得的面积最大?若存在,求出点P的坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由. (3)在x轴上是否存在点Q,使得是等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 13.如图,已知抛物线与x轴交于和两点,与y轴交