2024年中考数学高频考点突破——二次函数与菱形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与菱形 1．如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求b、c的值； (2)点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：于点Q． ①当时，求P点到直线l：的距离的最大值； ②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出m的值． 2．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线顶点． (1)求抛物线解析式； (2)点在此抛物线的对称轴上，当最大时，点的坐标为_____，此时的面积为_____； (3)点在抛物线上，平面内存在点使四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 3．已知如图：抛物线交轴于点、点，交轴于点，点、点关于轴对称．    (1)求抛物线解析式． (2)点是抛物线上对称轴右侧一点，连接，面积最大时，求出最大面积和此时点的坐标． (3)点在对称轴上，点是第一象限内一点，以点、、、为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 4．如图，已知抛物线与x轴交点为A、B，A在B的左侧，与y轴交点为点C，且抛物线与直线交于A、C．    (1)求直线的表达式； (2)是D第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形面积的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与直线交于B、C两点，其中，抛物线与x轴另一交点坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上直线上方一点，连接、，求四边形面积的最大值以及此时的点坐标； (3)将抛物线向左平移个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，点E是新抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在一点F使得以B、C、E、F构成的四边形是菱形，若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 6．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，交轴于点，顶点为． (1)直接写出点，，，的坐标； (2)如图1，连接，点为线段上的一个动点，过点作轴交抛物线于点，连接，，求面积的最大值和此时点的坐标； (3)如图2，是抛物线上第四象限内一点，过点作轴于点，交直线于点，且，作直线． ①求点的坐标； ②为直线上方抛物线上一点，过点作于点，取点．若点为平面内一点，如图，若四边形是菱形时，则点的坐标为________． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，C两点，与x轴交于点A．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移2个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，请写出所有满足条件的点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 8．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标．当为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线（如图所示）． (1)填空：抛物线的顶点坐标是（　 　，　 　），对称轴是　 　； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点M在直线上．在平面内是否存在点N，使四边形为菱形？直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在请说明理由 10．定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．    (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，在点中，是矩形“梦之点”的是________； (2)如图②，已知点是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点．连接，求的面积． (3)在（2）的条件下，点为抛物线上一点，点为平面内一点，是否存在点，使得以为对角线，以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于，两点，其中点坐标为．    (1)求点坐标； (2)点为直线上方抛物线上一点，连接、，当时，求点的坐标； (3)将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原拋物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点