2024年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形 1．如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式（指出自变量的取值范围）和的最大值； (3)点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，．    (1)求b，c的值； (2)求直线的函数解析式； (3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：平移，使平移后的抛物线经过点，，与y轴的交点为E.    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点是抛物线上的动点，设四边形的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形的面积的最大值； (3)若与平移后的抛物线对称轴交于D点，点M是y轴上一点，点N是抛物线的对称轴上位于点D的上方的一点，当与相似时，请直接写出点M及其对应点N的坐标（每写一组正确的结果得1分，最多得5分）． 4．如图，在直角坐标系中有一直角三角形，为坐标原点，，，将此三角形绕原点逆时针旋转，得到，抛物线经过点、、．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为， ①是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． ②设抛物线对称轴与轴交于一点，连接，交于，直接写出当与相似时，点的坐标； 5．如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．    (1)求点B的坐标和抛物线的解析式． (2)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标． ②点M在x轴上自由运动，若M，P，N三个点中恰有一点是其他两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 6．如图，抛物线交轴于、两点，点坐标为，与轴交于点，以、为边作矩形交抛物线于点，点为边（不包括、两点）上一动点过点作轴的垂线交于点，交于点，交抛物线于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在抛物线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，当在上方的抛物线部分时，若以、、为顶点的三角形和相似，试求点的坐标，并判断此时的形状． 7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，．    (1)求抛物线和直线的函数解析式； (2)若点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标． 8．如图，抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为，对称轴与x轴交于点P．    (1)抛物线的解析式为__________； (2)点M为y轴正半轴上的一个动点，连接，过点M作的垂线，与抛物线的对称轴交于点N，连接AN． ①若与相似，求点M的坐标； ②若点M在y轴正半轴上运动到某一位置时，有一边与线段相等，并且此时这一边与线段具有对称性，我们把这样的点M称为“对称点”，请写出“对称点”M的坐标． 9．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，连接．    (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)若点在对称轴上； ①当的值最小时，求点的坐标； ②以，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标． 10．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点，D为顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴的负半轴上是否存在点P使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． (4)点H是直线上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接，则两线段的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （直接写出答案．） 11．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，，交y轴于点C，对称轴是直线．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，E是线段上一点，E关于直线的对称点F正好落在上，求点F的坐标； (3)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N