上海市松江二中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

松江二中2023学年第一学期期末考试 高二 数学 考生注意: 1.试卷满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,务必在答题纸贴二维码并填写考号、姓名、班级(等级考填写任课老师姓名)。作答必须涂或写在答题纸上,在试卷上作答一律不得分。 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1. 已知集合,函数的定义域为集合,则_ 2. 已知数列的前项和为,则 3. 直线与直线的夹角大小为_ 4. 已知直线和互相平行,则它们之间的距离是 5. 若的二项展开式的第9项为常数项,则 6. 如图,在棱长为2的正方体中,E,F,G,H分别是棱的中点,则平面到平面的距离是_ 7. 饺子是我国的传统美食,不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个,韭菜馅饺子5个,这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4个饺子,则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为 8.将某选手的7个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,5个剩余分数的平均分为22,现场作的7个分数的茎叶图,后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为_ 9. 已知向量垂直于直线的法向量,过、分别作直线的垂线,对应垂足为和,若,则实数的值为 10. 已知球的体积为,高为1的圆锥内接于球,经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为,若,则 11. 已知分别在直线与直线上,且,点,,则的最小值为 12.设为的一个排列,满足,则这样的排列的个数为_个. 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13.已知均为实数,且不同时为零,不同时为零,则“”是“关于的方程组有无数组解”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 14. 某校读书节期间,共120名同学获奖(分金、银、铜三个等级),从中随机抽取24名同学参加交流会,若按高一、高二、高三分层随机抽样,则高一年级需抽取6人;若按获奖等级分层随机抽样,则金奖获得者需抽取4人.下列说法正确的是( ) A.高二和高三年级获奖同学共80人 B.获奖同学中铜奖所占比例一定最低 C.获金奖的同学可能都在高一年级 D.获奖同学中金奖所占比例可能最高 15. 正方形的边长为12,其内有两点,点到边的距离分别为3,2,点到边的距离也是3和2.现将正方形卷成一个圆柱,使得和重合(如图).则此时线段的长度为( ) A. B. C. D. 16. 四个村庄A、B、C、D之间建有四条路AB、BC、CD、DA.在某个月的30天里,每逢奇数日开放AB、CD,封闭BC、DA;每逢偶数日开放BC、DA,封闭AB、CD. 游客小明起初住在村庄A,在该月第k天,他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿,以的概率留在当前村庄,设小明在30天内的选择相互独立,则第30天结束时,小明在村庄B的概率是( ) A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.(本小题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知. (1)求的值; (2)设,求被6除的余数. 18.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分) 如图,四棱锥中,底面是平行四边形,,平面,点是的中点,分别是的中点. (1)求证:平面; (2)求三棱锥的体积. 19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 甲乙两人进行投篮比赛,两人各投一次为一轮比赛,约定如下规则:如果在一轮比赛中一人投进,另一人没投进,则投进者得分,没进者得分,如果一轮比赛中两人都投进或都没投进,则都得0分,当两人各自累计总分相差4分时比赛结束,得分高者获胜.在每次投球中甲投进的概率为0.5,乙投进的概率为0.6,每次投球都是相互独立的.在每一轮比赛中,记甲得1分的概率为,乙得1分的概率为,两人都得0分的概率为. (1)求的值; (2)若两人起始分都为0分,求恰好经过4轮比赛,甲获胜的概率. 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知一条动直线. (1)求证:直线恒过定点,并求出定点P的坐标; (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,是否存在直线满足下列条件:① 的周长为12;② 的面积为6,若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当取最小值时,求直线的方程. 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 设数列的前项和为.若对任意的正整数,总存在正整数,使得,则称是“数列”. (1)若数列,,判断和是否是“数列”(给出结论即可); (2)设是等差数列,其首项,公差.若是“数列”,求的值;