江苏省镇江市第一中学2023-2024学年高三上学期1月学情检测调研数学试题

2024届高三年级1月学情检测调研试题数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知复数满足，的共轭复数为，则（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 3.函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4.若展开式中二项式系数和为，所有项系数和为，一次项系数为，则（ ） A.4095 B.4097 C. D. 5.已知底面半径为的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，则圆锥的母线长为（ ） A. B.2 C. D.4 6.19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高.约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若（，），则的值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（ ） A. B.若的最小正周期为，则 C.若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D.若，则的最小值为2 8.已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。 9.已知，若，则（ ） A.的最大值为 B.的最小值为1 C.的最小值为8 D.的最小值为 10.已知两个不等的平面向量满足，其中是常数，则下列说法正确的是（ ） A.若，则或 B.若，则在上的投影向量的坐标是 C.当取得最小值时， D.若的夹角为锐角，则的取值范围为 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，在第一象限，若为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ） A.双曲线的离心率为 B.的面积为 C.内切圆半径为 D.的内心在直线上 12.如图，在三棱锥中，平面平面，，，则（ ） A.三棱锥的体积为 B.点到直线的距离为 C.二面角的正切值为 D.三棱锥外接球的球心到平面的距离为 三、填空题：共4小题，每题5分，共20分。 13.某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有________种. 14.已知，则________. 15.过双曲线的右支上一点，分别向⊙和⊙作切线，切点分别为，则的最小值为________. 16.若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余题目为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在中，角的对边分别是，已知，. （1）求角B的大小； （2）若的面积，设D是BC的中点，求的值. 18.已知正项数列的前项和为，且.数列满足，为数列的前项和. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； 19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各人进行分析，从而得到表（单位：人）： （1）完成上表；对于以上数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有关联？ （2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率； ②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取20人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差. 参考公式：.常用的小概率值和对应的临界值如下表： 20.如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面. （1）求证：； （2）若，在棱上是否存在一点，