5.4.3正切函数的性质与图象 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的性质和图像 一 二 三 学习目标 会求正切函数的周期 掌握正切函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性 会画正切函数的图像，通过图像归纳它的单调性（单调区间） 学习目标 新课导入 思考（1）根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的图象和性质？ 思考（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？ 解析式 图像 性质 周期性 奇偶性 单调性 最大（小）值 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象. 新知探究 问题1 类比研究正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，试求出正切函数的周期是多少？它的奇偶性是怎样的？ 由诱导公式 可知， 由诱导公式 可知， 表明正切函数的定义域关于原点对称 正切函数是周期函数，周期是π. 【1】周期性： 【2】奇偶性： 正切函数是奇函数. 新知探究 问题2 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会 有什么帮助？ 根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期， 再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期， 比如区间 内的图象与性质即可． 比如区间 内的图象与性质即可． 问题3 如何画出函数y＝tan x， 　 　的图象呢？ 新知探究 如图，设 ，在坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B(x0,y0).过点B作x轴的垂线，垂足为M；               x 过点A(1,0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T， 则 A T 0 X Y 追问 那么如何在坐标系中描出点? 例如：               观察图象可知：当 时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大， 相应地，函数的图象从左向右呈不断上升趋势. 当x趋向于 时，AT的长度趋向于无穷大．且向右上方无限逼近直线 ，但不会与该直线相交． 根据正切函数是奇函数，图像关于原点对称我们根据此性质将正切函数在的图像补齐。 7 x y 1 -1 新知探究 问题3 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？ 只要画函数 图象关于原点的对称图形，就可得到 的图象； 第一步，因为正切函数是奇函数， 第二步，根据正切函数的周期性， 只要把函数 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到 正切函数 的图象，我们把它叫做正切曲线. x y o       新知探究 问题4 正切函数的图象有怎样的特征？ ③正切曲线是被与y轴平行的一系列直线 所隔开的无数个形状相同的曲线组成的. ①图象关于原点对称 ②图象在x轴上方的部分下凹； 在x轴下方的部分上凸. 正切函数的图象的特征 渐进线 渐进线 【3】单调性： 由正切函数的周期性可知，正切函数在每一区间 ，上都单调递增. 观察正切曲线可知，正切函数在区间 上单调递增, x y 0 【4】值域： 观察正切曲线可知，当 ，时 在 内可以取到任意实数值,但没有最大值、最小值.因此正切函数的值域是实数集R. 新知探究 问题4 观察正切函数图像，正切函数的单调性是怎样的？它的值域是多少呢？ 10 x y 0 【5】对称性： 观察正切曲线可知，正切函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形， 关于点 对称. 新知探究 追问 正切函数的图像有对称轴吗？除了原点是对称中心，还有其它对称中心吗？ 11 y x 1 -1 /2 -/2  3/2 -3/2 - 0 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 R T=  奇函数 函数 y=tanx 增区间 t t+ t- 概念生成 正切函数的性质 典例解析 例6 求函数 的定义域、周期及单调区间． 所以，函数的定义域是 函数 的周期 解： 课本P