精品解析：湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第六次月考数学试题

常德市一中2024届高三第六次月水平检测 数学 （时量：120分钟 满分：150分） 一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 全集，集合，则（ ） A. B. C D. 2. 已知复数满足，，若为纯虚数，则（ ） A 0 B. C. 1 D. 2 3. 直角梯形中，角为直角，，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 记为等差数列前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》卷五商功中有如下描述：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．意思为：今有底面为矩形的屋脊状的几何体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高1丈．现有一刍甍，如图所示，则该刍甍的体积为（ ） A. 5立方丈 B. 20立方丈 C. 40立方丈 D. 80立方丈 6. 毕业十周年校友们重返母校，银杏树下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右边，且不与乙相邻，则不同的站法共有（ ） A. 66种 B. 60种 C. 36种 D. 24种 7. 已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是（两组）双曲线.人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现对勾函数，的图象是以直线，为渐近线的双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则它的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题是真命题的有（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若且，则 D. 若函数，的最小值为2. 10. 已知圆锥的底面圆的半径与球的半径相等，且圆锥，与球的表面积相等，则（ ） A. 圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 B. 圆锥的高与母线长之比为 C. 圆锥的侧面积与底面积之比为3 D. 球的体积与圆锥的体积之比为 11. 设是抛物线上一点，是的焦点，在的准线上的射影为，关于点的对称点为，曲线在处的切线与准线交于点，直线交直线于点，则（ ） A. B. C. 是等腰三角形 D. 的最小值为2 12. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则的展开式中的系数为______. 14. 某中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值近似服从正态分布.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，该中学决定在分数段内抽取学生，且.在某班用简单随机抽样的方法得到20名学生的分值如下：56，62，63，65，66，68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81，83，86，88，93.则该班抽取学生分数在分数段内的人数为______人 （附：，，） 15. 定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和，令，若数列的变号数为2，则实数的取值范围是______. 16. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意的都恰有个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.（1）若函数是的“重覆盖函数”，则______；（2）若为的“2重覆盖函数”，记实数的最大值为，则______. 四.解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在四棱锥中，，，两两垂直，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角余弦值. 18. 在中，，，所对的边分别为，，，已知. （1）若，求的值； （2）若是锐角三角形，求的取值范围. 19. 火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 438372 93.8 （1）求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数； （2）根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”