2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（线段周长问题）

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数压轴题（线段周长问题） 1．如图，在直角坐标系中，已知点，，顶点在坐标原点的抛物线经过点B． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为，点P到点A的距离为，试说明； (3)将点B绕点A顺时针方向得到点C，抛物线上一动点P，当的周长有最小值时，求点P坐标． 2．已知抛物线 的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为．   (1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； (2)根据图象回答：当x取何值时，？ (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标． 3．如图1，抛物线y＝a+b经过A（−1，0），C（2，−3）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B． (1)求此抛物线的解析式及顶点坐标； (2)如图2，若将此抛物线平移，使其顶点为点D，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式； (3)如图2，过点P（m，0）作x轴的垂线（1≤m≤2），分别交平移前后的抛物线于点E，F，交直线OC于点G，求证：PF＝EG． 4．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．求m的取值范围； 5．如图，在平面直角坐标系中，过点、两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)求点C的坐标； (3)为线段AB上一点，，作轴交抛物线于点M，求PM的最大值与最小值． 6．如图，已知抛物线经过点和． (1)求出抛物线的解析式； (2)点与点Q均在抛物线上（其中），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标； (3)在满足（2）的情况下，在抛物线的对称轴上存在点E，使得的周长最小，请求点E的坐标． 7．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标； (2)设直线交轴于点．在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标，请说明理由； (3) 过点作轴的垂线，交直线于点，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？ 8．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D与点C关于x轴对称，点是x轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点M在线段上运动时，过点M作x轴的垂线l交抛物线于点P，交线段于Q，求的最大值及对应的m的值； 9．如图，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在线段上（不与，重合），过点作轴交抛物线于点，若点的横坐标为，请用含的代数式表示的长． 10．抛物线与直线一个交点，另一个交点B在x轴上，点P是线段上异于A、B的一个动点，过点P做x轴的垂线，交地物线于点E； (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在这样的点P，使线段长度最大?若存在求出最大值及此时点P的坐标，若不存在说明理由． 11．如图1，在平面直角坐标系中，以直线为对称轴的抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是． (1)点A的坐标为______； (2)求抛物线的解析式； (3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接，，，使得的周长最小，求F点的坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，交线段于点H．求的最大值及此时点P的坐标． 13．在平面直角坐标系中，抛物线（c为常数）， (1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若抛物线与x轴有两个交点，自左向右分别为点A．B，且，求抛物线的解析式； (3)当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，直接写出c的取值范围． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点E，交于点F，作于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)若点F是线段的三等分点，求点P的坐标； (3)线段是否存在最大值，若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由． 15．如图，已知抛物线交轴于点，与直线交于点，过点作轴交抛物线于点．若是线段上一点，过点作轴的垂线分别交直线与抛物线于，．点在线段的下方． (1)求与的值． (2)求线段的最大值． (3)作点关于直线的对称点，连结，．