2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最小值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最小值 1．如图，抛物线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，直线：，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)证明：对于直线上任意给定的一点，在抛物线上总能存在点，，使得点为的中点； (3)直线：交抛物线于点，，记为点到直线的距离，为点到直线的距离，判断是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．    (1)求抛物线的表达式； (2)当时，连接，求的面积； (3)①是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点，满足，求周长的最小值． 3．如图，拋物线与直线交x轴于点A，交y轴于点B．    (1)求拋物线的解析式； (2)当时，请求出y的最大值和最小值； (3)以为边作矩形，设点C的横坐标为m．当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的取值范围． 4．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．    (1)求抛物线的解析式； (2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积； (3)M为直线上一点，求的最小值； (4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，已知抛物线(a为常数，且)，此抛物线与y轴交于点A，过点A作y轴的垂线与此抛物线交于点B，点A与点B不重合．    (1)抛物线的对称轴为直线_______； (2)当抛物线经过坐标原点时， ①求此抛物线所对应的二次函数表达式； ②当(m为常数)时，y的最小值为，求m的值； (3)若点P是抛物线对称轴上的点，其纵坐标为，当以点A，B，P三个点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出a的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于､两点，与轴交于点，连接，      (1)求抛物线的解析式与顶点坐标： (2)如图，在对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图，若点是抛物线上的一个动点，且，请直接写出点的横坐标 (4)如图，以为直径画交，为圆上一动点，抛物线顶点为，连接，点为的中点，请直接写出的最小值． 7．如图，在平面直觓坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．    (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差． (3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 8．如图，已知点在二次函数的图象上，且    (1)若该二次函数的图象经过点，求这个二次函数的表达式； (2)若，求时二次函数的最大值与最小值的差； (3)当时，的最小值为，求的值． 9．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中，连结． (1)求点C的坐标及此抛物线的表达式； (2)点D为y轴上一点，若直线和直线的夹角为，求线段的长度； (3)当时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围． 10．已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 11．已知：抛物线经过，，．    (1)求抛物线解析式． (2)在线段下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时， 求：点坐标及面积最大值． (3)如图2，直线交轴于点，取点，取线段的中点，以原点为圆心，长为半径做，点是上的动点，连接、．求： 的最小值． 12．我们不妨约定：二次函数与轴交于、两点，其中为顶点，当为等腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数”． (1)证明为“等腰直角函数”； (2)如图，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过中点的直线与二次函数相交于，两点，求面积的最小值； (3)如图，、为“等腰直角函数”上不重合的两个动点，且关于过原点的直线对称，当点的横坐标为时，求出点的坐标． 13．如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的横坐标为，点C的纵坐标为3．    (1)求该抛物线的解析式，并写出其对称轴； (2)设点P是抛物线对称轴第一象限部分上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点A的对应点为D，若点D恰好落在该抛物线上，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若点是直线上方抛