4.2.1 等差数列的概念 第2课时 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第二册

课时4 等差数列的概念 新授课 1.能利用等差数列解决简单实际问题. 2.能推导并掌握等差数列的性质. 3.能利用等差数列的性质解决实际问题. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务1：根据实际情境，利用等差数列求公差的取值范围. 目标一：能利用等差数列解决简单实际问题. 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的范围. 学习活动 学习目标 学习总结 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}． 由已知条件，得an ＝ an-1－d（n ≥ 2）． 所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列. 因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥11， a11 ＜11. 即： 解得19<d ≤ 20.9， 所以，d的求值范围为19<d≤20.9. 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：构造新的等差数列，求新数列通项. 已知等差数列{an}的首项a1 ＝2，d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2)b29是不是数列{an} 的项？若是，它是{an} 的第几项？若不是，请说明理由. 解： (1)设等差数列{bn}的公差为d. ∵b1=a1 , b5=a2 , ∴b5－b1 =a2－a1 =8， ∵ , ∴ , , ∴ ，所以数列{bn}的通项公式是bn =2n. 学习活动 学习目标 学习总结 (2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn =4n－3. 令4n－3 =29, 解得：n=8，所以，b29是数列{an}的第8项. 思考 问题(2)除了上述方法，还有没有其他办法？ ∵ bn =2n，∴ b29 =2×29=58，根据题意可知， an=2+8(n-1)=8n-6，令8n－6=58，解得n=8.所以b29是数列{an}的第8项. 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 1. 等差数列的性质1： 如果在一个等差数列的每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列. 2. 求构造的新数列的通项： ①明确新数列各项与原数列各项之间的对应关系； ②根据等差数列的概念求出新数列的首项与公差； ③利用等差数列通项公式求解. 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 已知一个无穷等差数列的首项为, 公差为d. 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是，它的首项和公差分别是多少? (2)依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (3)依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 是，首项为 ，公差为d； 是，首项为a1 ，公差为2d； 是，首项为a7 ，公差为7d； 猜想：所有序号为k(k≥2，k∈N*)的倍数的项按序号从小到大的顺序排成的数列都是等差数列. 学习活动 学习目标 学习总结 任务：证明等差数列的性质 目标二：能推导并掌握等差数列的性质. 情境1：已知数列{an}是等差数列，p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t. 求证：ap+aq= as+at. 证明：设数列{an}的公差为d,则 ap = a1+(p-1)d， aq = a1+(q-1)d， as = a1+(s-1)d， at = a1+(t-1)d， 所以， ap +aq =2a1+(p+q-2)d，as +at =2a1+(s+t-2)d， 因为p+q=s+t，所以ap+aq= as+at. 学习活动 学习目标 学习总结 新知讲解 等差数列性质2：若数列{an}是等差数列，其中p,q,s,t∈N*,且p+q=s+t，则ap+aq= as+at.特别地，m+n=2p，则am+an=2ap，其中m,m,p∈N*. 思考1 例5是等差数列的一条性质，下图是它的一种情形. 如何从几何角度解释等差数列的这一性质吗? 法一：如图，由s、p、q、t在同一条直线