1.2 空间向量基本定理 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时3 空间向量基本定理 新授课 情境导入：我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,能否用这三个向量表示空间中任意的向量呢？ 1.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解. 2.会选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量. 学习活动 学习目标 学习总结 3 任务：类比平面向量基本定理，探究空间向量基本定理. 目标一：了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解. 如图，设i,j,k是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点O，其中 为 在i,j确定的平面上的投影向量，对于任意一个空间向量 ，p能否用i,j,k表示呢？ 由题可知 ，又向量 ，k共线，因此存在唯一实数z，使得 ，从而 学习活动 学习目标 学习总结 因此，如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ yj+zk . 则称xi, yj,zk分别为向量p在i,j,k上的分向量. 从而， 而在i,j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得 学习活动 学习目标 学习总结 问题1：对于上面的分解，是否唯一呢？ 假设这种表示不唯一，即p还可以表示成p=x'i+y'j+z'k，那么xi+yj+zk=x'i+y'j+z'k． 由向量i,j,k不共面可以得到x=x'，y=y'，z=z'，故假设错误，表示是唯一的. 问题2：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k，你能得到类似的结论吗？ 学习活动 学习目标 学习总结 如图，过点O作 ，过点P作直线PP'//OC，交平面OAB于点 P'，在平面OAB内，过点P'作直线P'A'//OB，P'B'//OA，分别与直线OA，OB相交于点A'，B'． 于是存在三个实数x，y，z使 所以 容易证明这种表示形式是唯一的． 学习活动 学习目标 学习总结 新知讲解 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使p= xa+ yb+zc． 学习活动 学习目标 学习总结 {a, b, c} 基底 基向量 如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p= xa+ yb+zc，x,y,z∈R}．这个集合可看作由向量a,b,c生成的． 单位正交基底 对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi, yj, zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解. 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 三个基向量两两垂直 长度都为1 常用{i, j, k} 表示 学习活动 学习目标 学习总结 思考： (1)构成空间的基底是唯一的吗？ (2)基底选定之后，空间中向量用基底表示，表示形式唯一吗？ (3)基向量可以为零向量吗？ 不能，因为零向量与任意向量共面,而基向量必须不共面. 不唯一； 唯一； 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可以作为空间向量的一组基底的是(　　). A. B. C. D. C 学习活动 学习目标 学习总结 目标二：会选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量. 任务：根据空间向量基本定理，利用不共面的基底向量表示其他空间向量. 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示 解： 学习活动 学习目标 学习总结 思考：如何用合适的基底向量表示其他向量？ 归纳总结 用基底表示向量(分解向量)的步骤： 定基底→找目标→下结论. 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，若 ， ， ，点P为A1C1与B1D1的交点，则　　 （ ）. A. B. C. D. C 学习活动 学习目标 学习总结 任务：回答下列问题，构建知识导图. 1