习题课3 空间中线线、线面、面面垂直问题课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

空间中线线、线面、面面垂直问题 习题课3 1.掌握线线、线面、面面垂直的判定方法，能判定空间中线线、线面、面面垂直. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务1：组织学生思考回答下列问题. 目标：掌握线线、线面、面面垂直的判定方法，能判定空间中线线、线面、面面垂直. 问题： 1.什么是线面垂直 2.线面垂直的判定定理和性质定理是什么？ 3.面面垂直的判定定理和性质定理是什么？ 学习活动 学习目标 学习总结 1.直线与平面垂直的概念： 归纳总结 定义 如果直线l与平面α内任一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫平面α的垂线，平面α叫直线l的垂面.它们唯一的公共点P叫做垂足. 图示 画法 画直线与平面垂直，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 注意： ①定义中的词语“任意一条直线”与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语； ②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式； ③由直线与平面垂直的定义得，若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线． 学习活动 学习目标 学习总结 2．判定定理 归纳总结 文字语言 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 作用 判断直线与平面垂直 注：处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决,即在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即可． 学习活动 学习目标 学习总结 归纳总结 3.直线与平面垂直的性质定理： 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 图形语言 作用 证明两直线平行 学习活动 学习目标 学习总结 4.平面与平面垂直： (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β． (2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．如图所示． 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 5.平面与平面垂直的判定定理. 归纳总结 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 图形语言 作用 判断两平面垂直 6.平面与平面垂直的性质定理： 文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 图形语言 作用 证明直线与平面垂直 学习活动 学习目标 学习总结 任务2：判断线面垂直，掌握线面垂直的判定方法. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．证明：PB⊥平面EFD． 证明：在△PDC中，由PD＝DC，E是PC的中点，知DE⊥PC． 由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC， 由侧棱PD⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，知BC⊥PD， 又DC∩PD＝D，故BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PCD，所以DE⊥BC． 由DE⊥PC，DE⊥BC及PC∩BC＝C，知DE⊥平面PBC． 又PB⊂平面PBC，故DE⊥PB．又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，∴PB⊥平面EFD． 学习活动 学习目标 学习总结 利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤： (1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直； (2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线； (3)根据判定定理得出结论. 证明垂直关系时，一般是三种垂直关系的综合应用，注意根据题目特点灵活选择. 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO= DO．证明：PA⊥平面PBC． 练一练 证明：不妨设圆O的半径为1，OA＝OB＝OC＝1， 则AE＝AD＝2，AB＝BC＝AC= ，DO= ， PO= DO= ，PA＝PB＝PC= ， 在△PAC中，PA2+PC2＝AC2，故PA⊥PC， 同理可得PA⊥PB，又PB∩PC＝P， 故PA⊥平面PBC． 学习活动 学习目标 学习总结 任务3：利用面面垂直的判定定理，证明面面垂直. 如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC．求证：平面ABC⊥平面SBC． 由△BSC为等腰直角三角形，可得SH⊥BC，由∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，可得△BSA、△