6.2.3 向量的数乘运算 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

课时4 向量的数乘运算 新授课 1.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算. 2.类比实数乘法运算律，推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义. 3.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义. 学习活动 学习目标 学习总结 2 任务：作出和向量，并结合所做向量，小组讨论解决下列问题. 目标一：通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算. 如图，已知非零向量 ，作出向量 和 . 问题1：观察图象，与初向量 相比，向量 长度和方向分别是怎样？ 问题2：向量 与初向量 相比，长度和方向又分别是怎样？ 如图，因为 ，长度是原来的3倍，方向相同. 如图，因为 ，长度是原来的3倍，方向相反. 学习活动 学习目标 学习总结 一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作 . 它的长度与方向规定如下： 归纳总结 （1） ； （2）当 时， 的方向与 方向相同；当 时， 的方向与 方向相反； （3） ； . 注：数与向量的乘积仍是向量. 学习活动 学习目标 学习总结 如果把非零向量 的长度伸长为原来的3.5倍，方向不变，得到向量 ，向量 该如何用向量 表示？它们之间的关系是怎样的？ 思考 =3.5 ，向量 与向量 方向相同， 长度是 的3.5倍 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 A．0 B． C． D． B 学习活动 学习目标 学习总结 目标二：类比实数乘法运算律，推导并掌握平面向量数乘运算律及其几何意义． 任务1：类比实数乘法的运算律，探究向量数乘的运算律. (1)回顾下实数乘法的运算律有哪些？如何用数学语言表示？ ①交换律： ；②结合律： ；③分配律： . (2)同学们猜想向量数乘运算律有哪些？试着用数学语言表示出来. 结合律①： 分配律②： ，③ . 学习活动 学习目标 学习总结 证明：结合律①： 当 或 或 时，结合律成立； 当 ， 且 时，可得 ,所以 . 当 同号时，结合律中等式两边的向量符号与 向量方向相同，当 异号时，结合律中等式两边的向量符号与 向量方向相反.因此，向量 是相等向量. (3)如何证明猜想的向量数乘运算律？ 结合律①： 分配律②： ，③ . 学习活动 学习目标 学习总结 证明：分配律②： 当 或 或 时，②式显然成立； 当 ， 且 时，可分如下两种情况： 同号时， 、 的方向相同，所以 即 ，由 同号，知②式两边向量的方向都与 方向相同，或都与 方向相反，即②式两边向量的方向相同.所以②式成立. 异号时，当 ，知②式两边向量的方向都与 方向相同，当 ，知②式两边向量的方向都与 方向相同，所以②式两边向量的方向相同.所以②式成立. 学习活动 学习目标 学习总结 证明：分配律③： 当向量 共线，或 时，③式显然成立. 当向量 不共线，且 时，可分为如下两种情况： 当 时，如图，在平面内任取一点O，作 则 由作法知 ,有 ， ， ，所以 ,因此 ∽ ， 所以 ， ，因此 在同一条直线上， , 的方向相同，所以 ，所以 . 当 时，亦可证得 . 综上： . 学习活动 学习目标 学习总结 设 是实数，那么 结合律： ； 分配律： ， . 特别地，我们有 ， . 归纳总结 学习活动 学习目标 学习总结 练一练 关于向量，下列结论错误的是（ ）.　 A. B． C．