6.3.2 离散型随机变量的方差 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

6.3 第2课时 新授课 离散型随机变量的方差 均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，但有时两个随机变量的均值相同，其取值却存在较大的差异，如何来研究这种差异呢？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量方差和标准差的含义，了解随机变量的方差与样本方差的区别与联系. 2.能计算简单离散型随机变量的方差. 新课讲授 学习目标 课堂总结 3 知识点一：离散型随机变量的方差和标准差 设有A,B两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得它们的“寿命”分别为X,Y(单位：h).已知X,Y的分布列如下表： X 950 1000 1050 P Y 700 1000 1300 P 哪种类型的灯泡质量更好？ 直观上看，A类型的灯泡寿命X与其均值的偏离程度要小一些. 根据X,Y的分布列计算可得EX=EY=1000h, A类型的灯泡寿命介于950h~1050h, B类型的灯泡寿命介于700h~1300h, 新课讲授 学习目标 课堂总结 则 描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均值EX的偏离程度，而 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度. 称为DX为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的标准差，记为 . X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 概念生成 若离散型随机变量X的分布列如表: 新课讲授 学习目标 课堂总结 随机变量的方差DX和标准差 都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均水平. 方差（标准差）越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； 方差（标准差）越大，则随机变量的取值越分散. 注意点： 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：根据以前所学知识，样本数据的离散程度是如何表示的？该如何定量刻画随机变量取值的离散程度？ 随机变量的离散程度 样本数据的离散程度 (样本方差) 所有数据与样本均值的 “偏差平方的平均值” ? 可能取值与均值的 “偏差平方的平均值” (随机变量的方差) 新课讲授 学习目标 课堂总结 通过计算方差，标准差比较上面例子中哪种类型的灯泡质量更好. X 950 1000 1050 P Y 700 1000 1300 P 因为DX<DY(等价地， ) ，所以A类型的灯泡质量要更好. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 随机抛掷一枚均匀的骰子,求掷出的点数X的方差和标准差(结果精确到0.01). 解：掷出点数X的分布列如表： X 1 2 3 4 5 6 P ; ; 新课讲授 学习目标 课堂总结 求离散型随机变量X的方差的基本步骤： 归纳总结 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由均值的定义求出EX； (4)根据方差的定义求出DX. 新课讲授 学习目标 课堂总结 A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，产出次品的概率如下表所示： 问哪一台机床加工质量较好？ 次品数ξ1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数ξ2 0 1 2 3 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同，再比较它们的方差. Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064, Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好. 解： 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ和η的分布列分别如表1和表2： ξ 0 1 2 P 表1 表2 η 0 1 2 P 试比较这两名工人谁的技术水平更高. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：因为 即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工