北京市丰台区怡海中学2023-2024学年高二上学期期末数学模拟练习（2）

丰台区2023-2024学年度第一学期期末模拟练习（2） 高二数学 考试时间：120分钟 考试分值：150分 第I卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1．在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若双曲线上一点到其右焦点的距离是8,则点到其左焦点的距离是（    ） A．4 B．10 C．2或10 D．4或12 4．直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．已知直线则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．非充分也非必要 6．斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．公差为的等差数列的首项为，前项和为，且满足，则（    ） A．55 B．60 C．65 D．70 8．已知等比数列的前项和为，，且，，成等差数列，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 9．已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 第II卷（共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 11．等轴双曲线的渐近线方程为 ． 12．经过点，斜率为3的直线方程为 ． 13．若一个圆的圆心是抛物线 的焦点，且该圆与直线 相切，则该圆的标准方程为 . 过点 作该圆的两条切线 ，切点分别为 ，则直线 的方程为 14．近日北方地区普遍降雪，某幼儿教师手工课上带孩子们做描述雪花形状的图案：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为数列的前四项，则数列的通项公式为 ，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么“科赫雪花”的面积将趋近于 ． 15．如图所示，在棱长为2的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的有 ①．平面平面 ②．的最小值为 ③．若直线与所成角的余弦值为，则 ④．若是的中点，则到平面的距离为 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．已知圆的圆心在直线上，且过点 (1)求圆的方程； (2)已知直线经过，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 17．已知等差数列的的前项和为，从条件①､条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答： (1)求的通项公式； (2)若是等比数列，，求数列的前项和. ①；②；③. 18．如图，已知平面，为矩形，，M，N分别为线段，的中点. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. (3)若Q是线段的中点，求点Q到平面的距离. 19．某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）. （1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数） （2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数） 参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长. 20．如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.    (1)证明：平面. (2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 21．已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围. 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案及解析 1．B 【详解】因为，， 设，故， 故，解得，故.故选：B 2．C 【详解】由，，有， 经过，两点的直线的方向向量为，则有.故选：C. 3．D 【详解】由双曲线的方程可得,所以,可得. 设右焦点为,左焦点为, 当点在左支上时,则,所以； 当点在右支上时,．故选:D. 4．C 【详解】由题意若，且直线的方向向量，平面的一个法向量， 则，，解得.故选：C. 5．C 【详解】若,则， 所以两个直线的斜率且不重合，所以. 若，则，解得， 当时，，两个直线重合，舍