山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二上学期9月月考检测数学试题

2023—2024学年青岛五十八中第一学期月考检测 高二数学试题（2023年9月） 考试时间：120分钟，满分：150分 说明： 1.命题范围：空间向量、立体几何 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线一个方向向量为，点 为直线外一点，点为直线上一点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 设是正三棱锥，是重心，是上的一点，且，若，则（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体．下图是棱长均为1的柏拉图多面体，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据.三面角是由有公共端点且不共面的三条射线，，以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设，，，平面与平面所成的角为，由三面角余弦定理得.在三棱锥中，，，，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在向量上的投影向量为 10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与AC所成角的余弦值为 11. 已知正方体棱长为2，P为空间中一点．下列论述正确的是（ ） A. 若，则异面直线BP与所成角的余弦值为 B. 若，三棱锥的体积为定值 C. 若，有且仅有一个点P，使得平面 D. 若，则异面直线BP和所成角取值范围是 12. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： ①为同时与，垂直的向量； ②，，三个向量构成右手系（如图1）； ③. 如图2，在长方体中中，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______. 14. 已知向量，且，则____________． 15. 如图，在棱长为2正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为___________. 16. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．古希腊历史学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为________；侧面与底面所成二面角的余弦值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在三棱柱中，平面为线段上一点.若直线与平面所成角为，求点到平面距离. 18. 如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）求． 19. 如图，在直三棱柱中，为的中点.请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为. （1）求二面角所成角的正弦值； （2）点是矩形（包含边界）内