27.2.3相似三角形应用举例（教案）2023—2024学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 27.2.3相似三角形应用举例 教案 教学目标： 1.运用相似三角形的数学模型解决实际问题； 2.通过例题的分析与解决,让学生进一步感受相似三角形在实际生活中的应用； 3.通过从实际问题中抽象出相似三角形这一数学模型,巩固转化和建模思想,进一步培养学生分析、解决实际问题的能力. 教学重点： 1.运用相似三角形的数学模型解决实际问题； 2.通过从实际问题中抽象出相似三角形这一数学模型,巩固转化和建模思想,进一步培养学生分析、解决实际问题的能力. 教学难点： 通过从实际问题中抽象出相似三角形这一数学模型,巩固转化和建模思想,进一步培养学生分析、解决实际问题的能力. 教学过程: 一、导入新课 导入一：【复习提问】 1.什么是相似三角形？ 三个角分别相等，三边成比例的两个三角形相似. 2.判定三角形相似的方法有哪些？ （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. （2）三边成比例的两个三角形相似 （3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （4）两角分别相等的两个三角形相似 3.相似三角形的性质有哪些？ （1）相似三角形对应线段的比等于相似比 （2）相似三角形周长的比等于相似比. （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方. （以提问的形式进行知识的回顾，加深学生对所学知识的认识，并做到新旧知识的联系.） 导入二： 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字路，被喻为“世界古代七大奇观之一”，塔的4个斜面正对东南西北四个方问，塔基呈正方形，边长约为230米.据考证，为建成大金字搭，共动用了10万人花了20年时间，原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低. 在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 二、探究新知 探究一 根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度． 如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度． 思考：泰勒斯是如何测出OA的长的？ 金字塔的影子是等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面 边长一半的和 思考：太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗？ 由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF,又∠AOB=∠DFE=90°,两角分别相等的两个三角形相似，因此两三角形相似. 下面我们开始求金字塔的高度 ∵BA∥DE， ∴∠BAO＝∠EDF. 又∵∠AOB＝∠DFE＝90° ∴△ABO∽△DEF （两角分别相等的两个三角形相似） ∴＝， ∴BO＝＝＝134 m. 因此金字塔的高度为134 m. 探究二：测量河宽的问题 如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P，在近岸处取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b交于点R，已知测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m．求河的宽度PQ. 思考：图中哪两个三角形相似，如何得到的？ 根据判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可以得到△PQR∽△PST或者根据两角分别相等的两个三角形相似得到△PQR∽△PST 构造相似三角形，利用相似三角形的判定定理和性质进行解答 解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P， ∴△PQR∽△PST， ∴＝， 即 ＝，即， ∴PQ×90＝(PQ＋45) ×60， 解得PQ＝90， 因此河的宽度PQ为90 m. 思考：你还有其他的方法可以测量河的宽度吗？ （学生小组讨论交流，共同探究其他解题方法，教师对学生的回答进行总结） 解法二：如图，构造相似三角形 探究三 如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8 m和CD＝12 m，两树底部的距离BD＝5 m．一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？ （1） （2） 分析：设观察者眼晴的位置（视点）为F，观察者的水平视线为FG，分别交AB,CD于点H、K,∠AFH是观察点A的仰角，∠CFK是观察点C的仰角，区域Ⅰ和区域Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内.如果观察者继续再往前走，那么就看不到C点了. 解：如图，假设观察者从左向右走到点 E 时，她的眼睛的位置点 E 与两棵