2.5 一元二次方程的根与系数关系 同步练习 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上 2.5 一元二次方程的根与系数关系 一、单选题(共14小题) 1. 方程 的两根为 ,,则 等于 A. B. C. D. 2. 某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入, 年投入 万元,预计 年投入 万元.设教育经费的年平均增长率为 ,根据题意,下面所列方程正确的是 A. B. C. D. 3. 关于 的方程 为常数)的根的情况,下列结论正确的是 A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根,一个负根 D. 没有实数根 4. 方程 的解是 A. B. C. D. 5. 已知 , 是一元二次方程 的两个根,则 的值为 A. B. C. D. 6. 已知实数 , 满足 ,,则以 , 为根的一元二次方程是 A. B. C. D. 7. 已知关于 的方程 有一个根为 ,则另一个根为 A. B. C. D. 8. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根,则该等腰三角形的周长是 A. B. C. D. 或 9. 若关于 的方程 的两个实数根分别为 ,,且 ,则 A. B. C. D. 10. 定义:如果一元二次方程 满足 ,那么我们称这个方程为"凤凰"方程.已知 是"凤凰"方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是 A. B. C. D. 11. 已知 , 是一元二次方程 的两个实数根,则代数式 的值等于 A. B. C. D. 12. 若方程 的两根也是方程 的根,则 的值为 A. B. C. D. 13. 已知 是一元二次方程 的一个实数根,则 的取值范围为 A. B. C. D. 14. 二次函数,, 是常数,)的自变量 与函数值 的部分对应值如下表: 且当 时,与其对应的函数值 .有下列结论:① ;② 和 是关于 的方程 的两个根;③ ,其中,错误结论的个数是 A. B. C. D. 二、填空题(共5小题) 15. 已知一元二次方程 的两根分别为 ,,那么 . 16. 方程 的解是 . 17. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ,,且 ,则实数 . 18. 设 , 是关于 的方程 的两个根,且 ,则 . 19. 方程组 的两组解为 则 . 三、解答题(共5小题) 20. 若实数 , 分别满足 ,,且 ,求 的值. 21. 如图所示,某小区计划在一个长为 ,宽为 的矩形场地 上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与 平行,另一条与 平行,其余部分种草.若使每一块草坪的面积都为 ,求甬路的宽度.(根据题意列方程) 22. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根 ,. (1)求 的取值范围; (2)若 ,且 为整数,求 的值. 23. 已知关于 的一元二次方程 . (1)当 为何值时,方程有两个不相等的实数根? (2)若边长为 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的 倍,求 的值. 24. 已知抛物线 与 轴相交于不同的两点 ,, (1)求 的取值范围; (2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点 ,并求出点 的坐标; (3)当 时,由(2)求出的点 和 点 ,点 构成的 的面积是否有最值.若有,求出最值及相对应 的值;若没有,请说明理由. 答案 一 单选题 1. C 【解析】 方程 的两根为 ,, . 故选:C. 2. A 3. C 【解析】原方程可化为 . , 方程有两个不相等的实数根. 根据根与系数的关系,可知方程的两个根的积为 , 方程的根的情况是一个正根,一个负根. 4. D 5. A 【解析】, 是一元二次方程 的两个根, . 是 的一个根, ,即 . . 6. A 7. B 8. A 【解析】, ,, ① 等腰三角形的三边是 ,, , 不符合三角形三边关系定理,此时不符合题意; ② 等腰三角形的三边是 ,,,此时符合三角形三边关系定理,三角形的周长是 ; 即等腰三角形的周长是 . 9. D 10. A 11. B 【解析】 是一元二次方程 的实数根, , , , , 是一元二次方程 的两个实数根, , . 故选:B. 12. A 13. B 【解析】∵方程有实数根,∴ . 由题意得 或 令 ,则方程 可化为: ;方程 化为: . ∵ 是方程 或 的解, ∴方程 、 的判别式非负,即 ,∴ . 14. C 二 填空题 15. 【解析】, , . 16. , 17. 【解析】 原方程有两个不相等的实数根, , . , 是关于 的一元二次方程 的两个实数根, ,, , ,解得:(不符合题意,舍去),, 实数 的值为 . 故答案为:. 18. 【解析】根据题意,知 ,则 , 将其代入关于 的方程 ,得 . 解得 . 故答案是:. 19. 【解析】方程组消掉 得: ,即 ,所以 ,即 ; 方程组消掉 得: ,即 ,所以 ,即 ; 所以 . 三 解答题 20. 实数 , 分别满足 ,,且