06讲 圆中辅助线 寒假学习学案 2023-2024学年人教版数学九年级上册

第06讲 圆中辅助线专题 学习目标：（1）建立本章知识体系 （2） 明确中考考点 （3） 掌握经典题型 中考考点总结： （1） 遇（作）直径构造直角 （2） 利用切线构造矩形 （3） 切线的证明技巧 （4） 隐形圆 考点一：遇（作）直径构造直角 知识储备：见直径构造直角，遇直角作直径是常用的辅助线作法． 例1.如图，AD是⊙O的直径，若∠B＝40°，则∠DAC的度数为_______． 例2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为________． 例3.如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝135°，求△ABC的外接圆⊙O的半径长． 考点二：利用切线构造矩形 知识储备： 基本图形与基本结论 　 ⇒ 核心方法：构造矩形、构造全等、在直角三角形中运用勾股定理、运用垂径定理 例4.如图，AB为⊙O的直径，CE与⊙O相切于点E，AC⊥CE于点C，AC交⊙O于点M，若AM＝2CM＝2，求CE的长． 考点三：切线的证明技巧 知识储备：当待证切线与圆有明确公共点时，连半径，证垂直；当待证切线与圆无明确公共点时，作垂直，证半径．(有点连半径，无点作垂线) (一)利用角度转换证垂直 例5．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，点C是⊙O外的一点，且∠DBC＝∠A，求证：BC是⊙O的切线． (二)利用勾股定理逆定理证垂直 例6．如图，点P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，点Q是⊙O上的一点，且满足PQ2＝PA·PB，求证：PQ与⊙O相切． (三)利用全等证垂直 例7．(青海中考)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD，求证：CD是⊙O的切线． (四)利用角平分线性质证d＝R 例8．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.求证：CD与⊙O相切． 考点四：隐形圆 知识储备; 模型一　定点定长作圆 模型分析 如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分． 推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹． 例9. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．(保留作图痕迹不写作法) 模型二　定弦对定角(非90°) 模型分析 固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧． (1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)； (2) 如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知，点C在⊙O的上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则点C在优弧上运动；等于90°，则点C在半圆上运动；大于90°，则点C在劣弧上运动) 例10.如图，已知线段AB. (1)请在图①画出线段AB上方使∠APB＝60°的所有点P； (2)请在图②中画出线段AB上方使∠APB＝45°的所有点P. 例11.如图，AB是⊙O的弦，C是优弧上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，求△ABC面积的最大值． 模型四三　四点共圆 模型分析 如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆． 1．共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆； 2．四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一． 例12. 如图，等边 △ABC 中，AB = 6，P 为 AB 上一动点，PD ⊥ BC ，PE ⊥ AC ，则 DE 的最小值为 ． 随堂检测： 1. 如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD，若 ∠CAD = 76°，则 ∠CBD = 度． 2、如图，Rt△ABC 中，AB ⊥ BC ，AB = 6，BC = 4，P 是 △ABC 内部的一个动点，且满足 ∠PAB + ∠PBA = 90°，则线段 CP 长的最小值为 ． （第2题） （第3题） 3、如图，△ABC 为等边三角形，AB = 3．若 P 为 △ABC 内一动点，且满足 ∠PAB = ∠ACP，则线段 PB 长度的最小值为