第11讲 平行线的性质-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（北师大版）

第11讲 平行线的性质 思维导图 核心考点聚焦 1.两直线平行，同位角相等 2.两直线平行，内错角相等 3.两直线平行，同旁内角互补 4.根据平行线的性质求角度 5.平行线的性质在生活中的应用 6.平行线的性质与判定综合应用 7.根据平行线的性质与判定探究角的关系 平行线的性质： (1)文字表达： ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补； ②简单说成： 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补； (2)几何语言表述： 已知，如图所示，若AB∥CD， 则①同位角：∠1=∠5(或∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)； ②内错角：∠2=∠8(或∠3=∠5)； ③同旁内角：∠2+∠5=180°(或∠3+∠8=180°). 1.平行线的性质是由平行得到角的关系，即同位角相等、内错角相等、同旁内角互补. 2.根据两直线平行的关系去探究角的数量关系. 考点剖析 考点一、两直线平行，同位角相等 例题：如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， ， ， 故选B． 【变式训练】 1．如图，直线，直线，若， 则（    ）    A．30° B．40° C．50° D．60° 2．如图，，点B在直线b上，且，，那么（　　）    A． B． C． D． 考点二、两直线平行，内错角相等 例题：如图，直线，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，于点，若，则 【答案】35 【解析】如图，直线，， 又于点，，．故答案为：． 【变式训练】 1．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则等于 ． 2．如图，点是的边的延长线上一点,，若，，则的度数等于 ．    考点三、两直线平行，同旁内角互补 例题：如图，已知，若，则的度数为 ．    【答案】/150度 【解析】如图，∵，∴， ∵，∴，故答案为：． 【变式训练】 1．如图，已知，，平分，且交于点，则的度数为 ．    2．如图，直线，平分交直线于点E，若，则的度数为 度．    考点四、根据平行线的性质求角度 例题：如图，是的平分线，，，求的度数．    【解析】， ， 平分， ． 【变式训练】 1．如图，，直线分别交、于点、，平分，，求的度数．    2．已知：，平分，于O，，求的度数．    考点五、平行线的性质在生活中的应用 例题：一条古称在称物时的状态如图所示，已知，则 ．    【答案】100 【解析】如图，    由题意可得：，， ∴∠BCD=∠1=80°， ∴∠2=180°-80°=100°． 故答案为：100． 【变式训练】 1．如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架与底座垂直，支架，为固定支撑杆，当灯体与底座平行时，，，则的度数为 ．    2．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射，如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的，若水面和杯底互相平行，且，则 ．    考点六、平行线的性质与判定综合应用 例题：如图，点在上，点在上，、分别交于点、，已知，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，且，求的度数． 【解析】（1），理由如下： ∵，，又∵，∴，∴； （2）∵，， ∴，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 【变式训练】 1．已知，点是上一点，平分交于点．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，，，判断与之间的位置关系，并说明理由． 2．如图，已知，，，点E在线段上，，点F在直线上，．． (1)求证：； (2)如图，当点F在线段上时，求的度数； (3)在点C运动过程中，点C（点C不与点B、H重合）从点B出发，沿射线的方向运动，其他条件不变，请求出的度数． 考点七、根据平行线的性质与判定探究角的关系 例题：如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分 ∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． (1)∠ABN的度数是 ； (2)求∠CBD的度数； (3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律． 【解析】（1）∵AMBN，∠A＝64°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，故答案为116°； （2）∵AMBN，∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，∴∠ABP+∠PBN＝116°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP