（2）专项训练 集合与常用逻辑用语（B卷）——2024年高一数学寒假轻松衔接（人教A版（2019））

（2）集合与常用逻辑用语（B卷）——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）寒假轻松衔接 1.设P、Q为两个实数集，定义集合，若，，则的真子集个数为( ) A.15 B.16 C.31 D.32 2.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 3.定义:表示集合A中元素的个数,.已知集合,集合,集合,若,则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知集合,,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 5.命题“，”的否定是( ) A.， B.， C.， D.， 6.“”是“函数在R上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.（多选）对于集合A,B,定义集合运算,则下列结论正确的有( ) A. B. C.若,则 D.若,则 8.（多选）下列结论正确的是( ) A.命题“,”的否定是假命题 B.“”是“”的充分不必要条件 C.已知,则 D.函数的最小值为2 9.已知集合,,若,则______. 10.已知集合,集合,如果命题“,”为假命题,则实数a的取值范围为_________. 11.下列说法正确的是___________. ①若,则的值为1; ②已知,,则的最小值为9; ③设,则“”是“”的充分而不必要条件. 12.已知集合的子集个数为a. （1）求a的值； （2）若的三边长为a，b，c，证明：为等边三角形的充要条件是. 答案以及解析 1.答案：A 解析：依题意，由，，得， 所以集合中有4个元素，真子集个数为. 故选：A. 2.答案：A 解析：解可得,,所以. 解可得或,所以不等式的解集, 即的解集为或,即或. 所以,. 故选：A. 3.答案：D 解析:,, ,又,或, 方程的解为; 方程可能有0个解,2个相同的解,2个不同的解, 或或,故只需要排除, 若,①当,即时, 时方程的解为,时方程的解为, 或,成立, ②若是方程的根,则,方程的解为和, ,成立, ③若1是方程的根,则,方程的解为和, ,成立, 0不可能是方程的根, 综上所述,当且仅当或时,, 故的取值范围是且. 故选:D. 4.答案：A 解析：, , 表示3的整数倍加1,表示全体整数, 所以可以推出,不可以推出, 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5.答案：C 解析：命题“，”是存在量词命题，它的否定是“，”. 故选：C. 6.答案：B 解析：由函数在R上单调递增，得得. 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“函数在R上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 7.答案：ABC 解析:如图:若A,B不具有包含关系,由韦恩图分别表示集合,,, 若A,B具有包含关系,不妨设A是B的真子集, 对于A,图1中,,图中,所以,A正确; 对于B,图1中,成立, 图2中,,, 所以成立,故B正确; 对于C,若,则;故C正确; 对于D,由图2可知,若,则,故D错误; 故选:ABC 8.答案：BC 解析:A选项,原命题当时为假命题,故A错误; B选项,由,解得或,所以"是“"的充分不必要条件,B正确; C选项,,则,故C正确; D选项,, 令,,因为函数,在单调递增,所以,故D错误.故选:BC. 9.答案：3 解析:由可得, 当,即时,,不符合集合中元素的互异性,舍去; 当时,解得或3,若,则,不符合集合中元素的互异性,舍去; 若,则,,符合题意. 故答案为:3. 10.答案： 解析：因为命题“,” 为假命题, 所以命题“,” 为真命题, 因为集合, 当时,集合,符合; 当时,因为 ,所以由对,可得对任意的 恒成立,所以 , 综上所述：实数a的取值范围为. 故答案为:. 11.答案：① 解析：①由,得,则,故正确; ②由, 当且仅当,即,时,等号成立,故错误; ③由,得,由,得,所以“”是“”的必要不充分条件,故错误; 故选：①. 12.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）由方程组解得， 所以， 则M只有1个元素，所以M有2个子集，即. （2）证明：①充分性：由（1）得， 所以可化为， 即，所以， 则， 所以，即，为等边三角形， 充分性得证. ②必要性：因为为等边三角形，所以， 由（1）得，所以， 则，， 所以，必要性得证. 故为等边三角形的充要条件是. 学科网（北京）股份有限公司 $$