（12）自主训练：平面向量的运算——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）寒假轻松衔接

（12）预习自测：平面向量的运算——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）寒假轻松衔接 基础知识 1.向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则. 三角形法则 如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做与的和，记作，即. 平行四边形法则 已知两个不共线向量，，作，，以，为邻边作，则对角线上的向量. 2.对于零向量与任意向量a，有. 3.向量加法的运算律：交换律：；结合律：. 4.向量形式的三角不等式：，当且仅当，方向相同时等号成立. 5.相反向量： ①定义：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量. ②性质：零向量的相反向量仍是零向量； 和互为相反向量，于是； 若互为相反向量，则，，. 6.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，. 7.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有： ①；②；③. 特别地，有；. 8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 9.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 10.向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作. 当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向. 11.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即. 12.投影向量：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 13.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则（1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或； （4）由可得，； （5） 14.向量数量积的运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：； （3）分配律：. 1.如图，正六边形ABCDEF中，( ) A. B. C. D. 2.如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用，表示为( ) A. B. C. D. 3.正方形ABCD边长为4,M为CD中点,点N在AD上,,则( ) A. B. C.5 D.10 4.已知矩形ABCD中,E为AB边中点,线段AC和DE交于点F,则( ) A. B. C. D. 5.已知平面向量,满足,,,则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 6.已知平面单位向量,,满足,则( ) A. B. C. D. 7.（多选）已知实数m、n和向量、，下列结论中正确的是( ) A. B. C.若，则 D.若，则 8.（多选）已知向量,满足且,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 9.在中,D是BC边上的点且,若则________. 10.已知，，且，则在上的投影向量为________. 11.已知向量，的夹角为，且，，则___________. 12.已知非零向量,,满足,,且. （1）求向量,的夹角; （2）求. 答案以及解析 1.答案：D 解析：ABCDEF为正六边形，所以，， 所以. 故选：D. 2.答案：D 解析：. 故选：D. 3.答案：C 解析:设, 因为,, 因为正方形ABCD边长为4,, 所以,解得, 所以, 故选:C 4.答案：D 解析：取CD中点G,连接BG,交AC于点H, ,,四边形BEDG为平行四边形, ,又E为AB中点,,同理可得：, , . 故选：D. 5.答案：C 解析：,所以, ,而,所以． 故选：C． 6.答案：D 解析：由可知,两边同时平方得,, 故. 故选：D. 7.答案：ABD 解析：对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，若，则，所以，或，C错； 对于D选项，若，则，所以，，即，D对. 故选：ABD. 8.答案：AD 解析:因为,所以; 因为,所以,所以,故C错误,D正确; 因为,所以,A正确; 因为,所以,B错误; 故选:AD. 9.答案： 解析:由题可知,,又,所以 10.答案： 解析：由题可得：，设， ，则在上投影向量为. 11.答案： 解析：因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 12.答案：（1） （2） 解析:（1）, ,即, 又,,设向量,的夹角为, , , , , ,即向量,的夹角为; （2） . 学科网（北京）股份有限公司 $$