（7）自主训练 指数函数与对数函数（A卷）——2024年高一数学寒假轻松衔接（人教A版（2019））

（7）指数函数与对数函数（A卷）——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）寒假轻松衔接 1.设，，则a，b，c的大小关系( ) A. B. C. D. 2.“函数在上单调递增”的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 3.函数的零点的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知函数是定义在R上的奇函数,且对任意,不等式恒成立,则实数a有( ) A.最大值 B.最小值 C.最小值 D.最大值 5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( ) A.2600 B.2700 C.26 D.27 6.形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字,故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值,则“囧函数”与函数的图像交点个数为( ) A.1 B.2 C.4 D.6 7.（多选）济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏,柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条,在重力的作用下所具有的曲线形状称为怠链线.如果建立适当的平面直角坐标系,那么悬链线可以表示为函数,其中,则下列关于悬链线函数的性质判断正确的是( ) A.为偶函数 B.为奇函数 C.的最小值是a D.的最大值是a 8.（多选）已知函数,则( ) A.的定义域为R B. C.当时, D.对定义域内的任意两个不相等的实数,,恒成立. 9._____________. 10.已知函数若方程有四个不同的解,,,且,则a的最小值是____________. 11.设函数,,若对,都,使得,则实数a的最大值为______________. 12.已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. （1）求实数m，n的值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围； （3）若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数a的取值范围. 答案以及解析 1.答案：B 解析：，， 又在R上单调递增，故，， ， 故. 故选：B. 2.答案：A 解析：由题设，令， 所以在上递减，在上递增，而在定义域上递增， 又在上单调递增，故， 所以题设条件的一个充分不必要条件是. 故选：A. 3.答案：C 解析：如图,画出与的图象, 由图知与的图象有两个交点. 故函数的零点有2个. 4.答案：D 解析：因为是定义在R上的奇函数,所以,得,,从而由复合函数单调性可知在R上单调递增, 且注意到是定义在R上的奇函数, 所以不等式等价于, 即等价于,亦即, 该不等式对任意恒成立,则a不大于的最小值. 因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增, 所以当时,的最小值为 所以,等号成立当且仅当. 故选：D. 5.答案：D 解析：因为鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数， 当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为； 当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时， 所以，则，即耗氧量为， 因此鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为. 故选：D. 6.答案：C 解析：令,则函数有最小值. , 当函数是增函数时,在上有最小值, 当函数是减函数时,在上无最小值, .此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示, 由图象可知,它们的图象的交点个数为4. 所以本题答案为C. 7.答案：AC 解析：定义域为R, , 故为偶函数,A正确,B错误; 因为, 所以,当且仅当时取等号,C正确,D错误; 故选：AC. 8.答案：ABD 解析：因为,所以,即恒成立, 所以函数的定义域为R,故选项A正确; , 所以,故选项B正确; 因为, 且函数在上单调递增,又有在上单调递减, 所以在上单调递减,所以, 且x无限趋向于正无穷大时,无限趋向于负无穷,所以,故选项C错误; 记函数,由选项A知的定义域为R, 且,所以是奇函数, 因为,且函数在上单调递增, 又有在上单调递减,所以在上单调递减, 所以, 因为是奇函数,所以在上单调递减, 所以在R上单调递减,且,所以在R上单调递减, 所以对定义域内的任意两个不相等的实数,,恒成立,故选项D正确. 故选：ABD. 9.答案：8 解析： . 故答案为：8. 10.答案：1 解析：画出的图象如图所示.    因为方程有四个不同的解,,, 故的图象与有四个不同的交点,又由图,,, 故a的取值范围是,故a的最小值是1. 故答案为：1. 11.答案：4 解析：对,都,使得,的值域是值域的子集; 令,则,令, 当,即时,,的值域为; 设的值域为A,则; 设的值域为B,若,则; 当时,的值域,满足; 当时,的对称轴为,, 解得：,; 当时,的最大值为,,满足题意; 综上所述：