专题4-5 数列大题综合10种题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高二数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019选择性必修第二册）

专题 4.5 数列综合大题归类 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】 求和：等差等比 · 【题型二】 求和：错位相消型 · 【题型三】 求和：分组求和型 · 【题型四】 求和：裂项相消基础型 · 【题型五】 求和：裂项相消“计算型” · 【题型六】求和：指数裂项型 · 【题型七】求和：正负相间讨论型 · 【题型八】求和：通项分段型 · 【题型九】数列不等式：求和型证明 · 【题型十】数列不等式：恒成立求参 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】数列求和：等差等比公式型 【典例分析】 1.（上海市建平中学2022届高二上学期月考数学试题已知数列是首项等于的等比数列，公比，是它的前项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设（，为常数）求数列的前项和的最值． 2.（上海市南汇中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知数列的前项和为，且为正整数． (1)证明：是等比数列； (2)当取到最小值时，求的值．(参考数据：) 【提分秘籍】 等差等比求和公式： 等差：前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. 等比：前n项和公式：Sn＝ 【变式演练】 1.（黑龙江省鸡西实验中学2020-2021学年高中教师命题大赛数学试题）已知数列的首项，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求使不等式成立的最小正整数n. 2.（四川省德阳市成都师范学院德阳高级中学2022-2023学年高二上学期数学试题）已知等差数列​和等比数列​满足​，​，​. (1)求​的通项公式； (2)求和：​. 【题型二】数列求和：错位相消型 【典例分析】 1.（四川省岳池中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题）已知数列满足． (1)判断数列是否为等比数列； (2)数列的前项和为，当时，求数列的前项和． 2.（2024上·江苏·高二期末）已知等差数列满足，等比数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【提分秘籍】 错位相减法： 形如an＝，用错位相减法求解． 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）思维结构结构图示如下 【变式演练】 1.（2023上·重庆·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知数列，，，为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 2.（2023上·广西玉林·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型三】数列求和：分组求和型 【典例分析】 1.（陕西省延安市子长市中学2021-2022学年高二上学期科数学试题）已知等差数列的前项和为，，再从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答. 条件①：；条件②：；条件③：. (1)求数列的通项公式； (2)设等比数列满足，，求数列的前项和. 2.（福建省泉州一中、南安一中2023届高二上学期考试数学试题）已知等差数列的前项和为，其中，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【提分秘籍】 分组求和法： 1.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 2.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 3.形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 【变式演练】 1.（福建省龙岩市一级校联盟（九校）联考2022-2023学年高二上学期数学试题）已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 2.（江苏省泰州市泰兴市2022-2023学年高二上学期数学试题）设数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)对于任意的正整数，，求数列的前项和． 【题型四】数列求和：裂项相消基础型 【典例分析】 1.（2024上·河南周口·高二西华县第一高级中学校联考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2.（2023上·宁夏银川·高三校联考阶段练习）设正项等比数列，，且、的等差中项为． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项为，数列满足，为数列的前项和，求． 【提分秘籍】 数列常见裂项形式： （1）； （2）； （3）； （4）. （1）等差型，其中是公差为的等差数列； （2）无理型； （3）指数型； （4）对数型. 【变式演练】 1.（2023上·广东·高二广东两阳中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 2.（2024·全国·模拟预测）已知