3.4.3 第3课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.3 第3课时 新授课 用向量方法研究立体几何中的度量关系 能用向量方法解决点到平面、平行于平面的直线到平面、相互平行的平面间的距离问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量最基本的问题，如何用向量方法求解这些距离呢？ 问题引入 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点：点到平面的距离 思考1：点到平面的距离是什么？ 点到平面的距离就等于过这点向平面所作垂线段的长度. 思考2：如何利用向量方法求点到平面的距离？ 可以通过一个向量在法向量方向上作投影向量的方法来求解距离. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′， 则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离， 而 ∴向量 在法向量n0方向上的投影向量的长度 就等于线段PP′的长度. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度， 即 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'. (1)求证： 是平面A'BD的一个法向量；(2)求点C'到平面A'BD的距离. 解：(1)依据题意有A'(0,0,1)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C'(1,1,1). 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'. (1)求证： 是平面A'BD的一个法向量；(2)求点C'到平面A'BD的距离. 又A'B，A'D 平面A'BD，A'B∩A'D=A'， ∴ ⊥平面A'BD，即 是平面A'BD的一个法向量. ∴点C'到平面A'BD的距离为 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 用向量方法求解点到平面的距离问题的一般步骤 1.确定一个法向量； 2.选择参考向量； 3.确定参考向量在法向量方向上的投影向量； 4.求投影向量的长度. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:在单位正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线C'M到平面ACD'的距离；若不平行，请说明理由. 分析：平面ACD'截正方体得一个三角形，如图.点C'不在该三角形内，所以C'M 平面ACD'.进一步研究二者的位置关系可以考虑平面ACD'的法向量与 是否垂直. 解：以点D为原点，DA，DC，DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 由正方体的棱长为1，得 新课讲授 学习目标 课堂总结 设n=(x,y,z)是平面ACD'的一个法向量，则 取x=1，得y=z=1，故n=(1,1,1). ∴ ∥平面ACD'. ∴C'M∥平面ACD'. ∴直线C'M上任意一点到平面ACD'的距离都相等，都等于直线C'M到平面ACD'的距离. 又C'M 平面ACD'， 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:在单位正方体ABCD-A'B'C'D'中，点M是侧面ABB'A'的中心.判断直线C'M与平面ACD'是否平行.若平行，请证明你的结论，并求直线C'M到平面ACD'的距离；若不平行，请说明理由. ∴点C'到平面ACD'的距离为 即直线C'M到平面ACD'的距离为 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3:已知向量 ，对任意的实数a，b，当向量 的长度最小时，求a，b的值. 换句话说，当a，b变化时，点M是平面xOy内的动点. 分析：记向量 由平面向量基本定理可知，对任意的a，b，向量 都在 所确定的平面xOy内， 反之，平面xOy内的任意向量都可以用 来表示， 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3:已知向量 ，对任意的实数a，b，当向量 的长度最小时，求a，b的值. 解：如图， 由点到平面距离的定义，当且仅当n⊥平面xOy时，线段MY的长