3.4.3 第2课时 用向量方法研究立体几何中的度量关系课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.4.3 第2课时 新授课 用向量方法研究立体几何中的度量关系 1.会用向量法求二面角的大小. 2.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点1：两个平面所成的角 问题1：两个平面所成的角与二面角的平面角有何区别？ 我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β所成的角. 平面α与平面β相交，形成四个二面角， 区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面所成的角的范围是 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题2：二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 如图，过二面角α-l-β内一点P作PA⊥α于点A，作PB⊥β于点B， 设平面PAB交直线l于点O，连接AO，BO， 不难证明：l⊥平面PAB，于是∠AOB就是二面角α-l-β的平面角. 则 (或 )是平面α的一个法向量， (或 )是平面β的一个法向量. ∵在四边形PAOB中，∠PAO=∠PBO= 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图(1))或互补(如图(2)). 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 解析：由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向， 1.已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝ ，则二面角α-l-β的平面角的大小为( ) A. B. C. 或 D. 或 C 因此二面角α-l-β的平面角的大小为 或 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角 A'-DC-A的平面角. 解：由AA'⊥平面ABCD，可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量. ∵A'(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)， 则 设n2=(x,y,z)是平面A'DC的一个法向量， 即 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角 A'-DC-A的平面角. ∴取n2=(0,1,1)，得 ∴平面角为 由图可知二面角A'-DC-A的平面角为锐角， 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上， ＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，二面角O-AB-C的平面角为θ，则cos θ等于( ) A. B. C. D. B 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:如图，已知二面角α-l-β的平面角为 ，点B，C在棱l上， AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的长. 解：∵AB⊥l，CD⊥l，二面角α-l-β的平面角为 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:如图，已知二面角α-l-β的平面角为 ，点B，C在棱l上， AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的长. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 求解与二面角有关的线段长度问题，涉及到的两直线的方向向量所成的角是二面角的平面角或其补角要结合实际图形来确定. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 3.如图，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC=AB=BD=6，则CD= . 12 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.两个平面所成的角与二面角的平面角有何区别？ 2.二面角的平面角与两平面的法向量所成夹角有何关系？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$