2.2.1 双曲线及其标准方程课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.2.1 双曲线及其标准方程 新授课 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 回顾：椭圆的定义及标准方程是什么？ 定义：与两个定点的距离之和为常数(大于两个定点间的距离)的点的轨迹是椭圆. 根据焦点位置的不同，其标准方程为 或 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会是什么样的？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点1：双曲线的定义 动手操作：如图(A)，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，点F1到点F2的长为2c(c>0).把笔尖放在拉链开口的咬合处M，点M到点F1的距离与点M到点F2的距离之差等于2a(c>a>0). 随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖就画出一条曲线. 这条曲线上的点M满足下面的条件： |MF1| - |MF2| = 2a. 新课讲授 学习目标 课堂总结 同理可画出另一支(如图B). 这条曲线上的点M满足下面的条件： |MF2| - |MF1| = 2a. 这两条曲线合起来叫作双曲线，每一条曲线叫作双曲线的一支. 新课讲授 学习目标 课堂总结 双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (大于零且小于︱F1F2︱)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线. 概念讲解 F1 F2 焦距 焦点 M ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ②两个焦点间的距离 |F1F2| ——焦距. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：请仿照求椭圆标准方程的方法，根据双曲线的定义，并选择恰当的平面直角坐标系来求双曲线的标准方程. 知识点2：双曲线的标准方程 给定双曲线，它的焦点为F1，F2，焦距|F1F2|=2c(c＞0)，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a(0<a<c)， F1 F2 P x O y (x,y) 建系 以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系. 新课讲授 学习目标 课堂总结 F1 F2 P x O y (x,y) 设P(x , y)，根据双曲线的定义，可得| |PF1|-|PF2| |=2a，即|PF1|-|PF2| =±2a. 设点 列式 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据双曲线的定义可知，2c＞2a＞0,∴c2-a2＞0. 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2. F1 F2 P x O y (x,y) 化简 整理得： ① 双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是方程①的解; 以方程①的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离之差的绝对值都为2a， 令 其中b＞0. 新课讲授 学习目标 课堂总结 我们称方程①是双曲线的标准方程. 即以方程①的解为坐标的点都在双曲线上． F1 F2 P x O y (x,y) 它表示焦点在 x 轴上，两个焦点分别是 F1（- c，0），F2（c，0）的双曲线， 这里 ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考： 如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分別为(0，-c)，(0，c)，那么双曲线的方程是什么？ F1 F2 P x O y 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 双曲线标准方程 图形 方程 焦点 a,b,c之间的关系 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c) c2=a2+b2 a，b大小不定 F1 F2 P x O y F1 F2 P x O y 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5，0)，F2(5，0)，该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求该双曲线的标准方程. 解：∵双曲线的焦点在x轴上， 又c=5，a=3， ∴b2=c2-a2=16. ∴所求双曲线的标准方程为 ∴可设它的标准方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,－2)，F2(0,2)，且双曲线经过点P(3,－2)，求该双曲线的标准方程． 解：由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为 由双曲线的定义知 ∴a = 1． 又c = 2，∴ b² = c² －a² = 4－1=3． ∴所求双曲线的标准方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 1.求双曲线标准方程的步骤： (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a2,b2的值，写出标准方程. 2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两