2024年人教版九年级上册数学专题训练：——二次函数中的特殊四边形

2024年人教版九年级数学上册专题训练：—— 二次函数中的特殊四边形 1．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点． (1)求a的值； (2)当四边形为正方形时，求正方形的周长． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、为常数的顶点坐标为，与轴交于A、两点点A在点左侧，与轴交于点，点，点关于轴对称，连接，作直线．    (1)求、的值； (2)求点A、的坐标； (3)求证：； (4)点在抛物线上，点在直线上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 3．如图，抛物线与x轴正半轴交于点，以为边．在x轴上方作正方形，延长交抛物线于点D，再以为边向上作矩形，使．    (1)求a的值： (2)求点F的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点．    (1)求点A、B、C的坐标； (2)点Q在坐标平面内，在抛物线上是否存在点P，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是以为边且面积为12的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（、为常数）的图象与轴交于点、．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值； (4)点在二次函数的图象上，且点的横坐标为，以点为中心，构造正方形，，且轴，二次函数的图象与正方形的边有个交点，当交点的纵坐标之差为时，直接写出的值． 6．如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点，过作轴，交直线于点．    (1)求点的坐标； (2)点是直线下方抛物线上一动点，连接，与直线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若抛物线对称轴与轴交点为，连接，点是轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点，以为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点、、的坐标； (2)将抛物线向右平移1个单位，得到新抛物线，点在坐标平面内，在新抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 10．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)过点的直线交直线于点．当轴时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作直线的平行线交直线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； 11．如图，抛物线经过原点，与x轴相交于点，抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离，点是线段上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连接和．   　   (1)求抛物线的解析式； (2)求点C的坐标（用含m的代数式表示）； (3)当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标． 12．如图，直线与轴、轴分别交于点，点，经过，两点的抛物线与轴的另一个交点为A，顶点为，点为抛物线的对称轴上的一个动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)在平面直角坐标系内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线（）经过点、、．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)直接写出A，B，C点的坐标； (2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； (3)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示