重难点01 空间向量的应用解答题6种常考题型归类-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

重难点01 空间向量的应用解答题6种常考题型归类 求异面直线所成的角 1．（2022秋•怀柔区期末）如图，在长方体中，，，点在上，且． （Ⅰ）求直线与所成角的大小； （Ⅱ）求与平面所成角的正弦． 2．（2023秋•西城区校级月考）如图，在直三棱柱中，，，是中点． （Ⅰ）求直线与直线所成角的余弦值； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 求直线与平面所成的角 3．（2023秋•丰台区期中）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2023秋•大兴区期末）如图．在三棱柱中，平面，，、分别为，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 5．（2023春•北京期中）四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 6．（2023•大兴区模拟）如图，四边形为正方形，，，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2023秋•海淀区校级月考）如图，为矩形，为梯形，平面平面，，，． （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与直线所成角的大小； （3）设平面平面，试判断与平面能否垂直？并证明你的结论． 8．（2023秋•朝阳区校级月考）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC＝8，PA＝PC＝5，O为AC中点，H为PBC内的动点（含边界）． （1）求证：PO⊥平面ABC； （2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值； （3）若OH∥平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围． 9．（2023秋•朝阳区校级月考）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）从条件①：，条件②：中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 已知线面角求其他量 10．（2023•西城区校级模拟）如图所示，在三棱柱中，是中点，平面，平面与棱交于点，，． （1）求证：； （2）若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 11．（2023秋•顺义区校级期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点，将沿折起到的位置，使得平面平面． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12．（2022秋•石景山区校级期末）如图，在四棱锥中，，，，，，．是棱上一点，平面． （1）求证：为的中点； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积． 条件①：点到平面的距离为； 条件②：直线与平面所成的角为． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 13．（2023秋•海淀区校级期中）已知在多面体中，，，，，且平面平面． （Ⅰ）设点为线段的中点，试证明平面； （Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 求二面角（或平面角） 14．（2023秋•西城区校级月考）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 15．（2023秋•海淀区校级月考）在直三棱柱中，，分别是，的中点，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 16．（2023秋•朝阳区期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 17．（2023春•东城区校级期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点在棱上． （1）证明：平面平面； （2）当时，求二面角的余弦值． 18．（2023秋•海淀区校级期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，在上且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值． 19．（2023秋•西城区校级月考）如图，在三棱柱中，平面，，，，分别是，的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 20．（2023秋•西城区校级期中）如图，在四棱锥中，平面，，点为的中点． （1）证明平面； （2）求二面角的余弦值． 21．（2023秋•朝阳区校级月考）如图，在三棱柱中，，，点为棱的中点，平面平面，且． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 22．（2022秋•石景山区期末）如图，在直三棱柱中，，、分别是，的中点，，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求平面与平面所成角的余弦值． 23．（2023•石景山区一模）如图，在四棱锥