8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 第2课时课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019)选择性必修第三册

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 第2课时 1.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 2.通过对具体问题的进一步分析，能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题并加以解决. 3.通过具体实例，了解决定系数R2的意义和作用. 新课讲授 学习目标 课堂总结 编号 1 2 3 4 5 6 胸径/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 树高/m 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 编号 7 8 9 10 11 12 胸径/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 树高/m 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 例1 经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据如下表所示，试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程. 知识点一：线性回归分析 新课讲授 学习目标 课堂总结 解: 以胸径为横坐标，树高为纵坐标作散点图如下： 散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系. 用d表示胸径，h表示树高，根据据最小二乘法，计算可得经验回归方程为 新课讲授 学习目标 课堂总结 编号 胸径/cm 树高观测值/m 树高预测值/m 残差/m 1 18.1 18.8 19.4 -0.6 2 20.1 19.2 19.9 -0.7 3 22.2 21.0 20.4 0.6 4 24.4 21.0 20.9 0.1 5 26.0 22.1 21.3 0.8 6 28.3 22.1 21.9 0.2 7 29.6 22.4 22.2 0.2 8 32.4 22.6 22.9 -0.3 9 33.7 23.0 23.2 -0.2 10 35.7 24.3 23.7 0.6 11 38.3 23.9 24.4 -0.5 12 40.2 24.7 24.9 -0.2 根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差，如下表所示. 新课讲授 学习目标 课堂总结 以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，如图： 观察残差表和残差图，可得残差的绝对值最大是 0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内 .可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，可以根据经验回归方程由胸径预测树高. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 一元线性回归模型解决问题的过程： 1.分析实际问题确定响应变量，通过散点图观察成对样本数据是否线性相关，进而选择合适的统计模型； 2.通过统计软件得到模型参数的估计； 3.通过经验回归方程得到预测值、残差，分析残差图的特点，确定是否需要改进模型等； 4.根据经验回归方程，可以预测结果. 新课讲授 学习目标 课堂总结 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 问题：人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程. 以世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，得下图： 散点看上去大致分布在一条直线附近 知识点二：非线性回归分析 新课讲授 学习目标 课堂总结 将经验回归直线叠加到散点图，得到下图： 根据最小二乘法，由表中的数据得到经验回归方程为： 从图中可以看到，经验回归方程较好地刻画了散点的变化趋势，请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗? 用Y表示男子短跑100m的世界纪录，t表示纪录产生的年份利用一元线性回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系 新课讲授 学习目标 课堂总结 第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线， 并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方. 这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围， 而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律， 即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 新课讲授 学习目标 课堂总结 函数y=-lnx的图象具有类