8.3.2 独立性检验课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019)选择性必修第三册

8.3.2 独立性检验 1.通过实例了解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的基本思想，会用独立性检验解决简单的实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题：在上节例1中，通过频率比较得到“两所学校学生的数学成绩优秀率存在差异”的结论，但由于数据的随机性，这一推断有可能是错误的.如何从概率的角度去研究两个分类变量X和Y是否有关联？ 设X和Y为定义在样本空间Ω上的两个分类变量，可设X，Y∈{0，1}. 例： 我们希望判别的是性别是否影响学生的数学成绩，即事件{Y=1}和{X=1}或 {X=0}之间是否有关联. 用概率语言表示，就是判断下面的关系是否成立： H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 知识点一：零假设 新课讲授 学习目标 课堂总结 考虑以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量，判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联. 即判断下面的假定关系 H0：P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1) 是否成立,通常称H0为零假设或原假设. P(Y=1|X=0)表示从{X=0}中随机选取一个样本点，该样本点属于{X=0，Y=1}的概率；P(Y=1|X=1)表示从{X=1}中随机选取一个样本点,该样本点属于{X=1，Y=1}的概率. 概念生成 注意：{X=0}和{X=1}, {Y=0}和{Y=1}都是互对立事件. 新课讲授 学习目标 课堂总结 由条件概率的定义可知，零假设H0等价于 或P(X=0,Y=1)P(X=1)=P(X=1,Y=1)P(X=0) ① 因为{X=0}和{X=1}为对立事件，P(X=0)=1-P(X=1) 所以 P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1),P(X=0,Y=1)=P(Y=1)-P(X=1,Y=1), ①式等价于 P(X=1)P(Y=1)=P(X=1,Y=1). 因此，零假设H0等价于{X=0}和{X=1}独立. 思考：请用条件概率的知识，分析零假设，给出分类变量X和Y独立的定义. 知识点二：独立性检验 新课讲授 学习目标 课堂总结 {X=0}与{Y=0}独立;{X=0}与{Y=1}独立; {X=1}与{Y=0}独立;{X=1}与{Y=1}独立. 根据已经学过的概率知识，下面的四条性质彼此等价: 以上性质成立，分类变量X和Y独立，即下面四个等式成立： H0：分类变量X和Y独立. 用概率语言,将零假设改述为 P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0); P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1); P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0); P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1). ② 新课讲授 学习目标 课堂总结 假定我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示. X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 对于随机样本，表中的频数a，b，c，d 都是随机变量，而表中的相应数据是这些随机变量的一次观测结果. (1)请根据分类变量X和Y独立的定义及等价条件，利用列联表中的数据，构造一个用于推断两个分类变量是否独立的统计量. 事件{Y=0}和{Y=1}的频数 事件{X=0}和{X=1}的频数 n是样本容量 事件{X=x，Y=y}(x，y=0，1)的频数 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)如何基于②中的四个等式及列联表中的数据，构造适当的统计量，对 成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断? 在零假设H0成立的条件下，根据频率稳定于概率的原理，由②中的第一个等式，用概率P(X=0)和P(Y=0)对应的频率的乘积 估计概率P(X=0，Y=0), 该频数的观测值a和期望值 应该比较接近. 视为事件{X=0，Y=0}发生的频数的期望值(或预期值). 而把 新课讲授 学习目标 课堂总结 综合②中的四个式子,如果零假设H0成立,下面四个量的取值都不应该太大: , ,, ③ 反之,当这些量的取值较大时,就可以推断H0不成立. 一般来说，若频数的期望值较大，则③中相应的差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则③中相应的差的绝对值也会较小.为了合理地平衡这种影响，作如下处理： 化简得 新课讲授 学习目标 课堂总结 由④式可知，只要把概率值α取得充分小，在假设H0成立的情况下，事件不大可能发生的.根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断H0不成立.不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过α. 对于任何小概率值，可以找到相应的正实数，使得 成立，我们称为的临界值，这个临界值可作为判断大小的标准. 概