7.4.2 超几何分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019)选择性必修第三册

7.4.2 超几何分布 1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值. 2.能用超几何分布解决简单的实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 回顾： 1.什么是n重伯努利试验？ 2.二项分布： 若X~B(n，p)，则 3.如果 ，那么 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点一：超几何分布 问题：(1)已知100件产品中有8件次品，现采用有放回方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立 ，此时X服从二项分布，即X～B(4，0.08). 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)如果采用不放回抽样,抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？为什么？ 每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. (3)当X=1时，其概率P为多少？X的分布列是什么？ 从100件样本中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有1件的结果数为 X的分布列为 4件产品中恰有k件的结果数为 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 其中 新课讲授 学习目标 课堂总结 超几何分布主要用于不放回简单随机抽样中概率的计算，其中对抽取的每个个体只考虑是否具有某种特征(抽取的产品是否合格；选择的学生代表是否男生；抽取的小球是否红球等). 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：逐个不放回摸出n个球(考虑次序)和一次性摸出(不考虑次序）n个球，对分布列的计算有影响吗？为什么？ 不考虑次序： 其中 考虑次序： max{0，n-N+M}≤k≤min{n，m} 因此，无论考不考虑次序，X的分布列都是相同的，没有影响. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5. 因此甲被选中的概率为 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测， 求至少有1件不合格的概率. 则至少有1件不合格的概率为 另解: 解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分步，且N=30，M=3，n=10，X的分布列为 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳总结 1.判断随机变量是否服从超几何分布; 2.根据已知条件，确定M，N，n对应的值; 3.代入超几何分布的概率公式，求出结果. 超几何分布求概率解题步骤： 新课讲授 学习目标 课堂总结 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求 (1)甲班恰有2名同学被选到的概率. (2)甲班至多1名同学被选到的概率. 解:(1)设甲班恰有X人被选到，则X服从超几何分布，且N=12，M=4，n=4, 则： 练一练 (2) 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么? 说说你的猜想并证明. 知识点二：超几何分布的均值. 由随机变量均值的定义，令 因为 所以 令 p是N件产品的次品率， X满足 猜想 是抽取的n件产品的次品率， 新课讲授 学习目标 课堂总结 摸球方式 X的分布 E(X) D(X) 放回摸球 不放回摸球 令p=，设X表示摸出的n个球中红球个数，则二项分布和超几何分布的均值、方差对比如表： 超几何分布 H(N，M，n) np 二项分布 B(n，p) np np(1-p) 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中 黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 解：(1)对于有放回摸球，由题意知X~B(20，0.4)，X的分布列为 对于不放回的摸球，由题意知，X服从超几何分布，X的分布列为 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)样本中黄球的比例f20=是一个随机变量，根据下表计算得 有放回摸球：P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469. 不放回摸球：P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988. 新课讲授 学习目标 课堂总结