7.3.2 离散型随机变量的方差课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019)选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 回顾：1、离散型随机变量的数学期望： 2、数学期望的性质： (1)E(X＋b)＝E(X)＋b， (2) E(aX)＝aE(X)， (3) E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 1.通过具体实例，理解离散型随机变量方差及标准差的概念与意义. 2.掌握方差的性质，能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些简单的实际问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示： 应该派哪名同学参赛？按什么标准选拔？ X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 知识点一：离散型随机变量的方差和标准差 E(X)= 8 ；E(Y)=8 . 均值相等 新课讲授 学习目标 课堂总结 评价射击水平，除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，下图分别是X和Y的概率分布图： 乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：根据以前所学知识，样本数据的离散程度是如何表示的？该如何定量刻画随机变量取值的离散程度？ 随机变量的离散程度 样本数据的离散程度 (样本方差) 所有数据与样本均值的 “偏差平方的平均值” ? 可能取值与均值的 “偏差平方的平均值” (随机变量的方差) 新课讲授 学习目标 课堂总结 通过类比，可按如下步骤定义随机变量的方差： (1)计算随机变量的可能取值 xi 与均值E(X)的偏差 (xi-E(X))，i=1，2，3，...，n. (2)取偏差的平方： (xi-E(X))2，i=1，2，3，...，n. (3)偏差平方的加权平均 为避免正负偏差相互抵消 新课讲授 学习目标 课堂总结 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为 . X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 概念生成 设离散型随机变量X的分布列如表所示: 新课讲授 学习目标 课堂总结 随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：通过计算方差和标准差，比较问题1中甲、乙成绩的稳定性. 因为D(Y)<D(X)(等价地， ) ，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03 新课讲授 学习目标 课堂总结 在方差计算中,利用下面的结论可以使计算简化： 新课讲授 学习目标 课堂总结 解:抛掷散子所得点数X 的分布列为 P 6 5 4 3 2 1 X 例1 掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X 的方差 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示： 收益X/元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 表1 表2 (1)投资哪种股票的期望收益大？ (2)投资哪种股票的风险较高？ 解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1, E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1. 因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大. 新课讲授 学习目标 课堂总结 (2)股票A和股票B投资收益的方差分别为 D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6-1.12=1.29, D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3-12=0.6. 因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y), 所以投资股票A比投资股票B的风险高. 新课讲授 学习目标 课堂总结 求离散型随机变量X的方差的基本步骤： 归纳总结 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由均值的定义求出E(X)； (4)根据方差的定义