精品解析：上海市青浦区朱家角中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题

上海市朱家角中学2023学年度第一学期期末考试 高二数学 命题人：夏耀健 （时间 90分钟 满分 120 分 ） 2024.01 一、填空题（每题4分， 共48分） 1. 若直线 ，则直线的倾斜角是______ 2. 已知空间向量，则实数___________. 3. 已知首项为2的等比数列的公比为，则_____． 4. 若椭圆长轴长为4，则其离心率为________. 5. 设等比数列的公比为2，前项和为，若，则__________． 6. 已知圆锥的底面周长为，母线长为3，则该圆锥的侧面积为________． 7. 已知双曲线离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______． 8. 已知某圆台上底面和下底面半径分别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为_____ 9. 已知，，数列是公差为1的等差数列，若的值最小，则________． 10. 用易拉罐包装饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同． 你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线． __________． 11. 已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图所示），则四边形面积的最小值为_________． 12. 设是首项为3且公比为的等比数列，则满足不等式的最小正整数的值为__________． 二、选择题（每题4分，共16分） 13. 已知，是异面直线，，是两个不同的平面，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 14. 若椭圆的两个顶点和焦点都在圆：上，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的方程是 B. 过椭圆上的点作圆的切线，一定有两条 C. 圆上点与椭圆上的点的距离的最大值是 D. 直线与椭圆有交点，与圆无交点 15. 等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（ ） A. ①、②都正确 B. ①正确 ②错误 C. ①错误 ②正确 D. ①、②都错误 三、解答题（8+8+10+14+16） 17. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm. （1）求石凳的体积； （2）为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？（精确到0.1元） 18. 已知等比数列是严格增数列，其第3、4、5项的乘积为1000，并且这三项分别乘以4、3、2后，所得三个数依次成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若对任意的正整数n，数列的前n项和，向量的模为，求数列的前n项和． 19. 已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． （1）求抛物线的方程及点M的坐标； （2）证明：为定值； 20. 已知双曲线，是双曲线上一点． （1）若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； （2）设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）； 21. 已知椭圆为的左､右焦点，点A在上，直线与圆相切. （1）求的周长； （2）若直线经过的右顶点，求直线的方程； （3）设点在直线上，为原点，若，求证：直线与圆相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市朱家角中学2023学年度第一学期期末考试 高二数学 命题人：夏耀健 （时间 90分钟 满分 120 分 ） 2024.01 一、填空题（每题4分， 共48分） 1. 若直线 ，则直线的倾斜角是______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】由可得， 故直线的倾斜角为， 故答案为： 2. 已知空间向量，则实数___________. 【答案】6 【解析】 【分析】由空间向量平行得到方程组，求出的值. 【详解】因为，所