2.5 简单复合函数的求导法则课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.5 简单复合函数的求导法则 新授课 1.了解复合函数的概念． 2.掌握复合函数的求导法则，能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 知识点1：复合函数 分析：由题意知，时间t决定油膜的半径r，进而决定油膜的面积S，所以可得S关于t的函数解析式为S=f(φ(t))=π(2t+1)2. 油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数S=f(φ(t))的导数. 因为f(φ(t))=π（2t+1）2 =π（4t2+4t+1）,根据导数公式表和导数的四则运算法则，可得[f(φ(t))]＇=π(8t+4)=4π(2t+1). 所以油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率为4π(2t+1). 海上一艘油轮发生了泄漏事故.泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S（单位:m2）与油膜的半径r（单位:m）的函数关系为S=f(r)=πr2.油膜的半径r随着时间t(单位:s）的增加而扩大，假设r关于t的函数解析式为r=φ(t)=2t+1.油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 概念生成 复合函数 一般地，对于两个函数y=f（μ）和μ=φ（x）=ax+b,如果给定x的一个值，就得到了μ的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y=f（μ）和μ=φ（x）的复合函数，记作y=f(φ(x)）,其中μ为中间变量. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 1.指出下列函数是怎样复合而成的． (1)y=(3＋5x)2；(2)y=log3(x2-2x+5)；(3)y=cos 3x. 解： (1)y=(3＋5x)2是由函数y=u2，u=3＋5x复合而成的． (2)y=log3(x2-2x+5)是由函数y=log3u，u=x2-2x+5复合而成的． (3)y=cos 3x是由函数y=cos u，u=3x复合而成的． 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点2：复合函数的导数 导数的四则运算法则，可得[f(φ(t))]＇=π(8t+4)=4π(2t+1). 所以油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率为4π(2t+1). 另外，fʹ(r)=2πr，φʹ(t)=2. 我们可以观察到 4π(2t+1)=2πr·2, 即 [f(φ(t))]＇=fʹ(r)·φʹ(t). 新课讲授 学习目标 课堂总结 复合函数y=f(φ(x)）对x的导数为 归纳总结 yʹx=[f(φ(x)）]ʹ=fʹ（μ）φʹ（x），其中μ=φ（x）. yʹx=表示y对x的导数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1：求函数 的导数 . 由复合函数的求导法则，可得 解：引入中间变量μ=φ（x）=3x+1，则函数 是由函数f（μ）= 与μ=φ（x）=3x+1复合而成的. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：引入中间变量μ=φ（x）=2x-1，则函数y=（2x-1)30是由函数f（μ）=μ30与μ=φ（x）=2x-1复合而成的. yʹx=[（2x-1）30]ʹ=fʹ（μ）φʹ（x） =（μ30）ʹ·（2x-1）ʹ =30μ29·2=60（2x-1）29. 由复合函数的求导法则，可得 例2：求函数 y=（2x-1)30的导数. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3：一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为 ，求函数t=3时的导数，并解释它的实际意义. 由复合函数的求导法则，可得 解：函数 是由函数f（μ）= 与μ=φ（t）=2t+1复合而成的,其中，μ是中间变量. 将t=3代入hʹ（t），得hʹ（t）= 它表示当t=3时，水面高度下降的速度为 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： （1） ； （2）y=sin(-x+1). 解：（1） （2） 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.什么是复合函数？ 2.如何求复合函数的导数？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$