1.5 数学归纳法课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.5 数学归纳法 新授课 1.了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题． 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境导入 在多米诺骨牌游戏中，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下. 只要推倒第 1 块骨牌，就必然导致第 2 块骨牌倒下；而第 2 块骨牌倒下，就必然导致第 3 块骨牌倒下……. 最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点1：数学归纳法 （1）证明当n取第一个值 n0 (n0是一个确定的正整数，如n0 =1或2等)时，命题成立； 证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.基本步骤如下： （2）假设当n=k (k∈N+，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立. 根据（1）（2）可以断定命题对一切从n0开始的正整数 n 都成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 当n0 =1时，（1）证明了当n=1时命题成立；（2）当n=1+1=2时命题成立. 思考：数学归纳法为什么能保证命题对所有的正整数都成立？ 当n0 =2时，命题成立，由（2）可知，当n=2+1=3时命题成立. 递推下去，当n=4，5，…时命题也成立，即命题对任意正整数n都成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1:用数学归纳法证明：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和公式为 证明：（1）当 n =1时，左边=S1= a1，右边= ，等式成立； （2）假设当 n = k (k≥1) 时，等式成立，即 成立. 那么当n=k+1时， 所以，n=k+1时等式也成立. 由（1）和（2）可知，等式对任意正整数n都成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2:已知数列{an}满足 ，a1=0，试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 解：由 ，a1=0，得 归纳上述结果，可得猜想 . 新课讲授 学习目标 课堂总结 用数学归纳法证明这个猜想： （1）当 n =1时，左边=a1= 0，右边= ，等式成立； （2）假设当 n = k (k≥1) 时，等式成立，即 成立. 那么，当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 根据（1）和（2），可知猜想 对于任意正整数n都成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 归纳和数学归纳法的区别： 在数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明. 归纳总结 （1）用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； （2）在用数学归纳法证明中，两个步骤缺一不可. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 某个命题与正整数有关.如果当n=k（k∈N+）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时该命题成立，那么（ ） A.n=4时该命题成立 B.n=4时该命题不成立 C.n≥5，n∈N+时该命题都成立 D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立 C 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3:用数学归纳法证明：（1+α）n≥1+nα（其中α＞-1，n∈N+）. 证明：（1）当 n =1时，左边=1+α，右边=1+α，等式成立； （2）假设当 n = k (k≥1) 时，等式成立，即（1+α）k≥1+kα成立. 那么，当n=k+1时，因为α＞-1，所以1+α＞0. 根据假设知，（1+α）k≥1+kα，所以 （1+α）k+1=（1+α）k（1+α）≥（1+kα）（1+α）=1+（k+1）α+kα2. 因为kα2≥0，所以1+（k+1）α+kα2≥1+（k+1）α. 从而（1+α）k+1≥1+（k+1）α. 这表明，当n=k+1时命题也成立. 根据（1）和（2），该命题对于任意正整数n都成立. 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.什么是数学归纳法？ 2.如何用数学归纳法证明一些简单的数学命题？ 命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立 若 n = k (k∈N+，k ≥ n0) 时命题成立，证明当 n = k + 1 时，命题也成立 验证当 n = n0 时命题成立 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$