1.3.2 等比数列的前n项和 第1课时课件-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.3.2 等比数列的前n项和 新授课 第1课时 1.了解等比数列的前n项和公式的推导过程. 2.掌握等比数列前n项和公式及其应用. 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 情境导入 小林和小明做“贷款”游戏，签订了一份合同.从签订合同之日起，在一个月（30天）中,小明第一天贷给小林1万元，以后每天比前一天多贷给小林1万元.小林按这样的方式还贷:小林第一天只需还1分钱，以后每天还的钱数是前一天的2倍. 合同生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元;到了第20天，小林共得210万元，而小明才得到1 048 575分，共1万元多一点.小林想:要是合同订两个月、三个月那该多好!果真是这样吗? 新课讲授 学习目标 课堂总结 知识点1：等比数列的前n项和公式 解：设30天后，小林得到的钱数为T30（单位：万元），小明得到的钱数为S30（单位：分），则根据合同，有 问题：计算小林和小明得到的钱数. T30=1+2+3+…+30= （单位：万元）， S30=1+2+22+…+229 . ① 由①式可得，2S30=2+22+…+229 +230. ② ②-①，得 S30=230-1. 新课讲授 学习目标 课堂总结 这可不是个小数目！利用计算器计算，得S30 = l 073 741 823（分） =1 073. 741 823（万元）. 小林听到这个结果，肯定会吓出一身冷汗！ 新课讲授 学习目标 课堂总结 将上述方法推广到一般的等比数列求和问题的解决过程中. ①式的两边同乘q,得 qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn, ② ①-②，得 Sn-qSn=a1(1-qn), 即 Sn(1-q)=a1(1-qn). 这就是错位相减法求和. 对首项为a1，公比为q（q≠0）的等比数列{an},设 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, ① 新课讲授 学习目标 课堂总结 当q≠1时，等比数列{an}的前n项和公式为 从而，等比数列{an}的前n项和公式为 当q=1时，由①式可得 Sn=na1 . q=1 q≠1且q≠0 新课讲授 学习目标 课堂总结 等比数列的前n项和公式 q=1 q≠1且q≠0 归纳总结 1.注意q=1与q≠1两种情形 2.q≠1时， 3.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二”问题. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 D 1.等比数列1，a，a2，a3，…的前n项和为(　　) A. B. C. D.以上都错 注意：考虑到公比为1的情况，此时Sn=n. 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 2.等比数列{an}的公比q=2，首项a1=2，则Sn= . 解：Sn= 2n+1-2 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：（1）由等比数列的前n项和公式，得 （2）因为公比q= ，所以 例1:（1）已知等比数列{an}中，a1=2，q=3.求S3； （2）求等比数列 的前10项的和. 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：根据题意，可知每年的利润组成一个首项a1 =300，公比q=1+10%=1.1的等比数列.所以从今年起第5年的利润为 这5年的总利润为 （万元）. a6=a1q6-1=300×(1+10%)5=300×1.15≈483（万元）； 例2:五洲电扇厂去年实现利润300万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长10%.问从今年起第5年的利润是多少？这5年的总利润是多少？（结果精确到1万元） 新课讲授 学习目标 课堂总结 练一练 在等比数列{an}中，公比q是整数，a1+a4=18，a2+a3=12，求此数列的前8项和. 解：由题意得， 解得 q2，q3不合题意，舍去. ∴q=2，a1=1， 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.等比数列的前n项和公式的推导过程？ 2.等比数列的前n项和公式是什么？ 新课讲授 课堂总结 学习目标 $$