3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

新授课 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时 1.理解函数零点的概念，会求简单函数的零点 2.理解二次函数的零点与对应方程、不等式解集之间的关系，并会用函数零点求不等式的解集 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 问题：如图已知函数f(x)＝x＋1的图像. (1)写出方程f(x)＝0的解集A； (2)写出不等式f(x)>0的解集B； (3)写出不等式f(x)<0的解集C； (4)A∩B，B∩C，A∩C有什么关系？ (5)A∪B∪C与f(x)的定义域集合R有什么关系？ 知识点1：函数的零点 A＝{－1} B＝(－1，＋∞) C＝(－∞，－1) A∩B＝B∩C＝A∩C＝∅ A∪B∪C＝R 新课讲授 学习目标 课堂总结 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)=0，则称α为函数y＝f(x)的零点. α是函数f(x)的零点⇔(α,0)是函数图像与x轴的公共点. 不是所有函数都有零点，例如函数 没有零点. 函数的零点是一个实数； 注意： 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1如图是函数y＝f(x)的图像，分別写出f(x)=0,f(x)＞0,f(x)≤0的解集. 解：由图可知，f(x)＝0的解集为{-5,-3,-1,2,4,6}. f(x)＞0的解集为(-5,-3)∪(2,4)∪(4,6). f(x)≤0的解集为[-6,-5]∪[-3,2]∪{4,6}. 1 6 5 4 3 2 -6 -1 -2 -3 -4 -5 新课讲授 学习目标 课堂总结 当函数图像通过零点且穿过x轴时，函数值变号，该零点称为函数的变号零点； 两个零点把x轴分为三个开区间，在每个开区间上所有函数值保持同号. 当函数图像通过零点但不穿过x轴时，函数值不变号，该零点叫做函数的不变号零点. 新课讲授 学习目标 课堂总结 求函数y=f(x)的零点，实质上就是要解方程f(x)=0,而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f(x)＞0等不等式的解集. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 利用函数求下列不等式的解集： (1)x2-x-6＜0; (2)x2-x-6≥0. 知识点2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 解:设f(x)=x2-x-6,令f(x)=0,得=x2-x-6=0， 1 1 (1)所求解集为(-2,3); (2)所求解集为（-∞,-2]∪[3,+∞). 作出函数图像的示意图. 因此，3和-2都是函数f(x)的零点， 即(x-3)(x+2)=0,从而x=3或x=-2， 新课讲授 学习目标 课堂总结 解：设f(x)=x2-4x+4,令f(x)=0,得x2-4x+4=0 例3 利用函数求下列不等式的解集： (1)x2-4x+4>0; (2)x2-4x+4≤0. 又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可知： (1)所求解集为(-∞，2)∪(2,+∞); (2)所求解集为{2}. 因此，函数f(x)的零点为2,从而f(x)的图像与x轴相交于(2,0), 即(x-2)2=0,从而x=2. 新课讲授 学习目标 课堂总结 f(x)=x2+4x+6=(x+2)2+2， 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 判别式 ∆＞0 ∆=0 ∆＜0 方程y=0的解集 {x1，x2} {x0} {∅} 函数f(x)的零点 x1，x2 x0 无 函数f(x)的图像与x轴的交点 (x1，0), (x2，0) (x0，0) 无 新课讲授 学习目标 课堂总结 利用二次函数求一元二次不等式解集的步骤： （1）把原不等式变形为ax2+bx+c＞0（或等ax2+bx+c＜0，其中a≠0，下同）； （3）观察函数图像，写出解集. （2）根据方程的根ax2+bx+c=0（即函数f(x)=ax2+bx+c的零点）及a的符号，画出二次函数f(x)=ax2+bx+c的草图； 新课讲授 学习目标 课堂总结 例4 求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x-1)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)＞0和f(x)≤0的解集. 解：函数零点为-2，-1,1. x （-∞，-2） （-2，-1） （-1，1） （1，+∞） f(x) - + - + -2 -1 1 x 由图可知f(x)＞0的解集为 (-2,-1)∪(1,+∞)； f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪[-1,1]. 新课讲授 学习目标 课堂总结 1.分解因式，求得函数的零点； 2.写不等式的解集常用标根引线法，奇次因式的根要穿过(变号零点)，偶次因式的根(不变号零点)要穿而不过. 方法归纳 新课讲授 学习目标 课堂总结 根据今天所学，回答下列