3.1.3 函数的奇偶性 第2课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.3 函数的奇偶性 新授课 3.1 函数的概念与性质 第2课时 1.了解函数奇偶性在研究函数图像时的作用 2.能利用函数的奇偶性解决简单问题 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 问题1：已知函数f(x)满足f(5)=-3,分别在条件“f(x)是偶函数”与“f(x)是奇函数”下,f(-5)的值有何区别. 如果f(x)是偶函数，则f(-5)=f(5)=-3; 如果f(x)是奇函数，则f(-5)=-f(5)=3. 知识点：函数奇偶性的应用 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题2：已知函数f(x)满足f(5)＜f(3),分别在下列各条件下比较f(-5)与f(-3)的大小： （1）f(x)是偶函数; (2)f(x)是奇函数. (1)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x),因此f(-5)=f(5),f(-3)=f(3) 从而由条件可知f(-5)<f(-3) (2)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x),因此f(-5)=-f(5),f(-3)=-f(3) 又由条件可知-f(5)>-f(3),从而f(-5)>f(-3). 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题3：如果函数y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，补全函数图像，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律. 如果y=f(x)是偶函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相反； 如果y=f(x)是奇函数，那么其在x>0与x<0时的单调性相同. 新课讲授 学习目标 课堂总结 如果知道一个函数是奇函数或是偶函数,那么其定义域能分成关于原点对称的两部分,得出函数在其中一部分上的性质和图像,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 研究函数 的性质，并作出相应的图像： 解：要使函数表达式有意义，需有x≠0,因此函数的定义域为 D={x∈R|x≠0}, 从而可知函数的图像有左右两部分， 设 则对任意x∈D,都有-x∈D,而且 所以该函数是偶函数，函数的两部分图像关于y轴对称 新课讲授 学习目标 课堂总结 所以 在(0，+∞)上是减函数. 再根据函数是偶函数，可以得出函数的图像. 函数的定义域为{x∈R|x≠0},函数是偶函数，在(-∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，函数的值域是(0,+∞). 例1 研究函数 的性质，并作出相应的图像： 因为x1，x2∈(0，+∞)时，有 x 1 2 3 4 1 1 1 新课讲授 学习目标 课堂总结 例2 求证：二次函数f(x)=x2+4x+6的图像关于x=-2对称. 证明：任取h∈R,因为 所以f(-2+h)=f(-2-h),这就说明函数的图像关于x=-2对称. f(-2-h)=(-2-h)2+4(-2-h)+6 f(-2+h)=(-2+h)2+4(-2+h)+6 =h2+2, =h2+2, 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：怎样能找到函数对应的对称轴？ f(x)=x2+4x+6=(x+2)2+2， 由此可得到f(-2+h)=f(-2+h)=h2+2,从而可知f(x)图像的对称轴为x=-2. 函数f(x)的图像关于x=a对称，当且仅当f(x+a)为偶函数 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：（1）如果一个函数是奇函数，那么其值域具有什么特点？ 如果一个函数是奇函数，那么其值域一定关于原点对称.更进一步，如果此时函数在x0处取得最大值M，那么该函数在-x0处取得最小值. 如果对于任意的a-x∈D，都有a+x∈D，且f(a-x)+f(a+x)=2b，那么函数f(x)的图像关于点(a，b)对称. （2）怎样证明函数图像关于点(a，b)对称？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 例3 已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求当x<0时,f(x)的表达式. 解：令x<0,则-x>0， ∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|， ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)， ∴f(x)=x|x+2|， 分析：已知函数f(x)是奇函数,可利用对称性求对称区间上的解析式. 故当x<0时,f(x)的表达式为f(x)=x|x+2|. 新课讲授 学习目标 课堂总结 利用函数奇偶性求函数解析式的方法: (1)若f(x)是奇函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x,y分别替换为-x,-y,然后解出y即可. (2)若f(x)是偶函数,且已知x>0时的解析式,则x<0时的解析式只需将原函数式y=f(x)中的x替换为-x,y不变,即得x<0时的解析式. 方法归纳 新课讲授 学